20xx年毕业论文韦达定理的推广及若干应用(编辑修改稿)

20xx年毕业论文韦达定理的推广及若干应用(编辑修改稿)内容摘要：

1 p x     由韦达定理得 12122 ,21 .4pxxxx  于是有   20 14 5 1 5 .24p      解得 2p 或 6p .故抛物线方程为 2 4y  或 2 12y  . 归纳 本题由联立方程组，消去一个未知量，也就得到了一个一元二次方程，自然就联想到根与系数的关系 了 . 例 求所有实数 k ，使一元二次方程    2 1 1 0kx k x k    的根都是整数 . 分析：本题是含有参数 一元二次方程，所以要进行必要的讨论， 根据一元二次方程根的情况可知，根与系数是有关系的，那么应用韦达定理也就可以解决问题了 . 解 1 当 0k 时，原方程为 1x ，则 0k 满足条件； 2 当 0k 时， 根据方程的根的个数可知    2 2= 1 4 1 3 6 1 0 .k k k k k         即 2 3 2 31 1 .33k    设方程的两根为 12,xx，则由韦达定理可知 1212111,111.kxxkkkxxkk           由 两式相减 得 贵阳学院毕业论文 5 1 2 1 2 2,x x x x     那么我们可以得到  1 2 1 2 1 1 2 3 .x x x x       即   121 1 1 3xx   ，所以 1 1 1 22 2 2 11 1 , 1 3 , 1 3 , 1 3 ,1 3 . 1 1 . 1 1 . 1 1 .x x x xx x x x                            126xx或 12xx  . 讨论 ,当 126xx时， 116k   ，此时 1。 7k 当 122xx  时， 112k   ，此时  因为 k 的值满足题意， 即 2 3 1 2 31 1 1 ,3 7 3      因此 17k 或 1k 综上所述， k 的值为 0、 17 或 1. 贵阳学院毕业论文 6 第三章 韦达定理的推广及其若干应用 第一节 韦达定理的推广 代数基本定理 [3] ： 在复数域里 ， 一元  1nn 次方程至少有一个根 . 多项式定理 [3] ： 在复数域中，任何  1nn 次多项式恰有 n 个根 （重根按重数计） . 设 fx是一元  1nn 多项式 ， 那么   0fx 叫做一元 n 次方程 ， 一元 n 次方程的一般形式是   120 1 2 1 0n n n nnf x a x a x a x a x a       (其中 0 0,a n N).当 3n时 ,称为一元高次方程 3 . 根据代数基本定理可知，任何一元  1nn 次方程，在复数集中至少有一个根 .由多项式定理可知，在复数域中 ,任何  1nn 次多项式必 有 n 个根 . 根据第二章所述韦达定理在一元二次方程 中 的基本形式 ，先 作 以下猜想： 在 一元 n 次方程   120 1 2 1 0n n n nnf x a x a x a x a x a       （ 其中 0 0, 3,n n N  ） 中，方程 的 n 个 根 1 2 3 1, , , , ,nnx x x x x有 如下关系： （ ）   11 2 3 1021 2 2 3 3 4 2 1 1031 2 3 2 3 4 3 4 5 3 2 1 2 10111 2 3 1 2 3 401 2 3 10,1,1.nnn n n nn n n n n nnnnnnnnnax x x x xaax x x x x x x x x xaax x x x x x x x x x x x x x xaax x x x x x x xaax x x x xa                          那我们接下来就试着 用多项式的相关理论推导 证明 ， 在一元高次方程中 根与系数的关系（ ） 是否存在 . 设 有 一元  1nn 次多项式 贵阳学院毕业论文 7   121 2 1n n n nnf x x a x a x a x a       （ ） ， 在复数域上 ， fx必 有 n 个 根（重根按重 数计），设 12,nx x x 为 fx的 n 个 根 ， 由多项式定理可知， 在 复数域 中 ， fx一定 可 以 分解 成 有 n 个 一次因式的乘积，即            1 2 3 1nnf x x x x x x x x x x x     .2 （ ） 将 （ ） 的右端 展开 并合并同类项 ，然后将 其 各次项的系数 与 （ ）右端 的各项系数 相比较，得出 如下 关系：  1 1 2。 na x x x     2 1 2 1 3 1。 nna x x x x x x     3 1 2 3 1 2 4 2 1。 n n na x x x x x x x x x        11 1 2 1 2 31。 nn n na x x x x x x       x x x 其中第 m  1, 2, ,mn 个 等式 的 右端是一切可能的 m 个根的乘积 之 和 再 乘以 (1)m .3 由以上结论可得，若 在 多项式   120 1 2 1n n n nnf x a x a x a x a x a       （ ） 中， 首项系数 0 1a （ 且 0 0a ） ， 与（ ）的各项系数相 比可知 ， 只要 把 （ ） 中 各项的系数 都 乘以01a 就变成了（ ）的形式了 ， 根据 多项式 的 有关 性质可知， 变化之后多项式的根 是 不会 改变，这时 多项式的 根与系数 的关系变 化 成如下形式 ：  1 120。 na x x xa     。