线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分(编辑修改稿)

线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分(编辑修改稿)内容摘要：

(t)=2f(t)t≥ 0 试求系统的冲激响应 h(t)。 解 冲激响应 h(t)满足动态方程式 h′ (t)+3h(t)=2δ(t)t≥ 0 由于动态方程式右边最高次为 δ(t) ， 故方程左边的最高次 h′ (t)中必含有 δ(t) ， 故设 h′ (t)=Aδ(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 将 h′ (t)与 h(t)分别代入原动态方程有 Aδ(t)+Bu(t)+ 3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) A=2， B=6 3. 系统的冲激响应 h(t)反映的是系统的特性 ， 只与系统的内部结构和元件参数有关 ， 而与系统的外部激励无关。 但系统的冲激响应 h(t)可以由冲激信号 δ(t)作用于系统而求得。 在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中 ， 都是已知系统的动态方程。 一线性非时变系统 ， 当其初始状态为零时 ， 输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应 ， 简称阶跃响应 ， 用 g(t)表示。 阶跃响应是激励为单位阶跃函数 u(t)时 ， 系统的零状态响应 ， 如图。 线性非时变系统g ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }01tu ( t )g ( t )0 tu ( t )阶跃响应示意图 如果描述系统的微分方程是式 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm1 f (m1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) ， 将 f(t)=u(t)代入，可求得其特解 上的特征根 λi(i= 1， 2， … ， n)均为单根 ， 则系统的阶跃响应的一般形式 (n≥m) 为 00()b uta01 0( ) ( ) ( )intiibg t c e u ta 卷积积分 在信号分析与系统分析时 ， 常常需要将信号分解为基本信号的形式。 这样 ， 对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析 ， 从而将复杂问题简单化 ， 且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。 信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。 信号分解为冲激序列 从上图可见 ， 将任意信号 f(t)分解成许多小矩形 ， 间隔为 Δτ ， 各矩形的高度就是信号 f(t)在该点的函数值。 根据函数积分原理 ， 当 Δτ 很小时 ， 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号 f(t)；而当 Δτ→ 0时 ， 可以用这些小矩形来精确表达信号 f(t)。 即 ( ) ( 0 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 ) )( ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) ( 2 )( 0 ) ( )( ( ) ( ) )()((()kf t f u t u t f u t u tf k u t k u t ku t u t u t u tffu t k u t kfkutfk                                                                           ) ( ) )k u t k        上式只是近似表示信号 f(t),且 Δτ 越小 ， 其误差越小。 当 Δτ→ 0时 ， 可以用上式精确地表示信号 f(t)。 由于当 Δτ→ 0时 ， kΔτ→τ ， Δτ→dτ ， 且 00( ( ) ( ) )()( ( ) ( ) )( ) li m ( )li m ( ) ( )( ) ( )kku t k u t ktu t k u t kf t f kf k t kf t t d                             故式在 Δτ→ 0时 ， 有 卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应 yf(t)时 ， 将任意信号 f(t)都分解为冲激信号序列 ， 然后充分利用线性非时变系统的特性 ， 从而解得系统在任意信号 f(t)激励下的零状态响应yf(t)。 由上式可得 0( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( )kf t f t t d f k t k                   上式表明 ,任意信号 f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加。 不同的信号 f(t)只是冲激信号δ(t kΔτ) 前的系数 f(kΔτ) 不同 (系数亦即是该冲激信号的强度 )。 这样 ， 任一信号 f(t)作用于系统产生的响应 yf(t)可由诸 δ(t kΔτ) 产生的响应叠加而成。 ， 若系统的冲激响应为 h(t)， 则有下列关系式成立。 00( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( )kkkfkt h tt k h t kf k t k f k h t kf k t k f k h t kf t f k t。