第八讲大数定律与中心极限定理(编辑修改稿)

第八讲大数定律与中心极限定理(编辑修改稿)内容摘要：

1例 2 利用大数定理近似计算定积分 分析： 假设函数 f (x)的图形如下图所示，那么定积分 ()baS f x d x 就是下图中的阴影面积 随机模拟： 产生 n 对相互独立的随机数 (Xi , Yi )，且 Xi 与 Yi 相互独立， Xi服从 区间 [a, b]上的均匀分布， Yi 服从 区间 [0, e]上的均匀分布。 10()( )0.a x b y eb a ef x y    ， ， ；， 其 他 设 A为事件 “ 随机数 (Xi , Yi )落在曲边梯形 abcd中 ” 那么二维随机变量 (Xi, Yi )的联合概率密度是： 易知事件 A的概率是： P(A) = S/(b a)e 随机模拟： 在矩形 abef中随机地取 n 对数 (Xi , Yi )，相当于做了 n重伯努利试验，设 n 对数 (Xi , Yi )中落在曲边梯形abcd中的个数为 k, 那么由伯努利大数定理有： () ()PAkSf p P An b a e     所以当 n 充分大时，有： ()()AkSf p P An b a e   ( ) ( )bakS f x d x b a en    step2： 产生 n 个 区间 [0, 1]上的均匀随机数 Yi。 step3： 组成随机数对 (Xi, Yi)， i =1， 2,… , n。 step4： 统计随机数对 (Xi, Yi)， i =1， 2,… , n。 中 满足条件 ： 的随机数对数量 k。 s i n ( )iiYX step5： 得到 定积分的近似值为： step1： 产生 n 个 区间 [0, ]上的均匀随机数 Xi。 计算定积分 的随机模拟步骤： 0 s in ( )S x d x kn随机模拟结果 ： 1 2 31230 s in ( ) 1 . 9 2 4 5 7S x d x例 3 伯努利大数定理的随机模拟 随机模拟步骤： step1： 产生 n 个 服从两点分布 b(1, p) 的随机数 Xi。 step2： 统计 n个随机数 Xi中 1 的 个数 nA，即事件 A发生的频数。 step3： 计算误差： Anepn step4： 重复 step1— step3 m次，统计这 m次试验中，误差 e大于 ε 的 次数及频率。 随机模拟结果 (其 中 m =100， p = ， ε ＝ ) 10 79 30 59 90 28 270 9 810 0 的次数 Anepn   的频率 Anepn   的值 n 从上表可以看出：随着 n的增大，伯努利试验中事件 A 发生的频率与事件 A发生的概率的偏差大于 ε的概率越 来越接近于 0。 在实际应用中，当试验次数很大时， 可以用事件发生的频率来代替概率。 中心极限定理。