第八章因子分析(编辑修改稿)

第八章因子分析(编辑修改稿)内容摘要：

ˆ 0p     24  对主成分解，当因子数增加时，原来因子的估计载荷并不变，第 j个因子 fj对 x的总方差贡献仍为。  主成分法与主成分分析有着很相似的名称，两者很容易混淆。 虽然第 j个因子与第 j个主成分的解释完全相同，但主成分法与主成分分析本质上却是两个不同的概念。 主成分法是因子分析中的一种参数估计方法，它并不计算任何主成分，且旋转后的因子解释一般就与主成分明显不同了。  称 为 残差矩阵 ，  对于 主成分解， 有  当 p个原始变量的单位不同，或虽单位相同，但各变量的数值变异性相差较大时，我们应首先对原始变量作标准化 变换。 ˆi  ˆ ˆ ˆS A A D  221ˆ ˆˆ ˆ ˆ mp    S A A D 的 元 素 平 方 和25  例 在例 ，分别取 m=1和 m=2，用主成分法估计的因子载荷和共性方差列于表。 表 当 m=1和 m=2时的主成分解 变 量 m=1 m=2 因子载荷 共性方差 因子载荷 共性方差 f1 f2 f1 f2 ： 100米 ： 200米 ： 400米 ： 800米 ： 1500米 ： 5000米 ： 10000米 ： 马拉松 所解释的总方 差的累计比例 1f2ˆih*1x23456782ˆih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x26 主成分解的近似关系式  主成分解的因子解释与主成分的解释完全相同。 因子 f1代表在径赛项目上的总体实力，可称为 强弱因子 ；因子 f2反映了速度与耐力的对比。 *1 1 2 1*2 1 2 2*3 1 2 3*4 1 2 4*5 1 2 5*6 1 2 6*7 1 2 7100 17 3100 67 32400 15 33800 49 12150 0 59 3100 38 92100 00 44 87x f fx f fx f fx f fx f fx f fx f f              （ 米 ）（ 2 米 ）（ 米 ）（ 米 ）（ 米 ）（ 50 米 ）（ 米 ）*8 1 2 8 80 11x f f     （ 马 拉 松 ）27 二、主因子法  假定原始向量 x的各分量已作了标准化变换。 如果随机向量 x满足 正交 因子模型，则有 R=AA′+D 其中 R为 x的相关矩阵，令 R*=R−D=AA′ 则称 R*为 x的 约相关矩阵 (reduced correlation matrix)。  R*中的对角线元素是 ，而不是 1，非对角线元素和 R中是完全一样的，并且 R*也是一个非负定矩阵。 2ih28  设 是特殊方差 的一个合适的初始估计，则约相关矩阵可估计为 其中 是 的初始估计。 又设 的前 m个特征值依次为 ，相应的正交单位特征向量为 ,则 A的 主因子解 为 2ˆi 2i21 12 12* 21 2 2212ˆˆˆ ˆ ˆˆppp p ph r rr h rr r h   R R D   2 2 2 2 212 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, di a g , , , 1ij p i irh       RD ，2ih*ˆR* * *12ˆ ˆ ˆ 0m     * * *12ˆ ˆ ˆ, , , mt t t  * * * * * *1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , mm  A t t t29 由此我们可以重新估计特殊方差， 的最终估计为  如果我们希望求得拟合程度更好的解，则可以采用迭代的方法，即利用 上 式中的 再作为特殊方差的初始估计，重复上述步骤，直至解稳定为止。 该估计方法称为 迭代主因子法。 2i2 2 21ˆˆ ˆ1 1 , 1 , 2 , ,mi i ijjh a i p    2ˆi30 特殊 (或共性 )方差的常用初始估计方法  (1)取 ，其中 rii是 的第 i个对角线元素，此时共性方差的估计为 ，它是 xi和其他 p−1个变量间样本复相关系数的平方，该初始估计方法最为常用 ，但一般要求 满秩。  (2)取 ，此时。  (3)取 ，此时 ， 得到的 是一个主成分解。 2ˆ 1 iii r  1ˆR22ˆ ˆ1iih 2ˆ m a xi ijjihr 22ˆˆ 1iih 2ˆ 0i 2ˆ 1ih  ˆA31  例 在例 ，取 m=2，为求得主因子解，选用 xi与其他七个变量的复相关系数平方作为 的初始估计值。 计算得 于是约相关矩阵为 2ih2 2 2 21 2 3 42 2 2 25 6 7 8ˆ ˆ ˆ 77 , 88 , 45 , 84ˆ ˆ ˆ 27 , 55 , 67 , 05h h h hh h h h      * 07 0 ˆ 00 05 06 R32 的特征值为 从 起特征值已接近于 0，故取 m=2，相应的计算结果列于表。 *ˆR* * * *1 2 3 4* * * *5 6 7 8ˆ ˆ ˆ ˆ6 .5 3 0 , 0 .7 7 9 , 0 .0 5 1 , 0 .0 0 6ˆ ˆ ˆ ˆ0 .0 1 4 , 0 .0 1 5 , 0 .0 3 6 , 0 .0 5 3                *3ˆ33 表 当 m=2时的主因子解 变 量 因子载荷 共性方差 f1 f2 ： 100米 ： 200米 ： 400米 ： 800米 ： 1500米 −。