第五节初等函数展开为幂级数(编辑修改稿)

第五节初等函数展开为幂级数(编辑修改稿)内容摘要：

nx n例 2 将 f(x)=sin x在 x=0处展开为泰勒级数 . 解 ,2πs i nco s)(   xxxf故 ,1)0(,0)0(,1)0(,0)0(  ffff故麦克劳林级数 !71!51!31 753  xxxx,2,1,2πs i n)()(   nxnxf n其收敛区间为 ， ),( ,)!1( ||)!1(π2 )1(s i n|)(|11  nxnxnxR nnn  位于 0与 x之间 . 由于 为收敛级数，其通项的极限为零， 01)!1(||nnnx或写为 ).( !71!51!31s i n 753  xxxxxx 按上述方法将 f(x)展开为幂级数，称为 直接法 . 0)(lim  xR nn),( )!12( )1(s i n 120  xxnx nnn因此 ，故有 二、展开的唯一性与间接展开法 设 f(x)在 的某对称区间 内可以展开成 的幂级数 ),( 00 xRxR 0x)( 0xx ( * ) )( )()()(0202020， nn xxaxxaxxaaxf以 代入 两端，有 ( * ) 0x,)( 00 axf 可将它写为 ).( 0)0(0 xfa ).( 01 xfa 即 将 (*)两端对 x求二阶导数，然后再以 代入其两端，有 0xx,2)( 20 axf 即 ).(!21 02 xfa 依次下去可得 ).(!1 0)( xfna nn 这样就证明了下述定理： 将 (*)两端对 x求导数 ,然后再以 代入其两端 ,有 ,)( 10 axf 0xx定理 (唯一性定理 ) 设 f(x)在某区间内可以展开为 的幂级数 ,)()(00nnn xxaxf)( 0xx 其系数必定为泰勒系数 ).,2,1,0( )(!1 0)(  nxfna nn 所谓 间接展开法 ，就是利用已知的幂级数展开 式，利用幂级数在其收敛区间内的运算性质，例如两 个幂级数可逐项加、减，逐项求导，逐项积分等，将 所给函数展开为泰勒级数 . 常用的展开式有 ),11( 11 1 2  xxxxx n ),( !2!1e2 xnxxxnx).( )!12()1(!5!3s i n1253xnxxxxxnn  欲将 f(x)展开为幂级数，首先与上述标准展开式 对照，如果 f(x)的形式与标准形式相近，则可以利用标 准展开式与幂级数性质将其展开 . 例 3 设 . )0( 1)(  aaxxf。