第九章级数(编辑修改稿)

第九章级数(编辑修改稿)内容摘要：

(2) . 则交错级数 收敛 ,且 ,其 中 、 与 分别是交错级数的和， 项部分和与余和 . 证明 : ,有 由条件 , 有 于是 ,偶子列 单调增加 ,又 1nunN  nu  lim 0nn u 11( 1) n nnu 1n n nr S S u   S nSnrnRN 2 1 2 2 1 2( ) ( )k k kS u u u u    mN 2 1 2 0。 mmuu  2{}kS1( 1)n nnu 又 即偶子列 有上界 ,根据单调有界原理知 收敛 ,设 由条件 2),有 即奇子列 也收敛于 ,从而 ,交错级数 收敛 .再根据定理 2 1 2 3 2 1 2k k kS u u u u u     1 2 3 2 2 2 1 2( ) ( )k k ku u u u u u      1unnr S S 1 2 3 4n n n nu u u u       1 2 3 4 5n n n n nu u u u u         1 2 3 4 5( ) ( )n n n n nu u u u u         1nu 2{}kS 2{}kS2lim kk SS  2 1 2 2 1l im l im l im ,k k kk k kS S u S       21{}kS  S limnn SS  111nnnu 下面讨论一般变号级数 的敛散性 . 定义 5 若正项级数收敛 ,则称级数 绝对收敛。 若级数收敛 ,而正项级数却发散 ,则称级条件收敛 . 定理 10 若级数 绝对收敛 ,则级数 必收敛 . 证明 利用绝对值不等式及级数的柯西收敛准则即可证得 . 1nnu1nnu1nnu 引理 (阿贝尔变换 ) 设 是 两组数 ,若 1) 2) 则 定理 11 (狄利克雷判别法 ) 若级数 满足下列条件 :1)数列 单调减少 ,且 2) 的部分和数列 有界 ,即 有 则级数 收敛 . 1 1 2 2 11nn n k kka b a b a b a b a M    12 0。 na a a  0M1, 1 , 2 , ,mmkkB b M m n  kkab与 ),2,1( nk 1nnkab{}na lim 0。 nn a 1nnb{}nB0 , ,M n N     12 ,nnB b b b M    1nnnab 例 1. 设数列 单调减少 ,且 .讨论下列级数的收敛性 : 1)。 2) . 例 2. 判别下列级数绝对收敛与条件收敛 : 1) 2) , 是参数 ,且 . }{ na lim 0nn a 1s innna n x1c o snna n x3121( 1 )。 1nnnn np1sinn pnnx 0,p  0 x 五、绝对收敛级数的性质 定。