第3章解析函数的积分(编辑修改稿)

第3章解析函数的积分(编辑修改稿)内容摘要：

zzi n则有一、主要定理和定义 定理一 . d)( , )( 无关线与连结起点及终点的路那末积分内处处解析在单连通域如果函数CzzfBzfC由定理一可知 : 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关 , (如下页图 ) 1. 两个主要定理 : 第四节 原函数与不定积分 B B0z 1z 0z 1z1C2C1C2C , , 10 zz 终点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf  10d)(zz zzf , , , 110 zzBzz 并令内变动在让如果固定 .d)()( 0 zz fzFB 内的一个单值函数便可确定 .)()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且析函数内的一个解必为那末函数内处处解析在单连通域如果函数定理二 证 利用导数的定义来证 . B , 内任一点为设 Bz z, KBz小圆内的为中心作一含于以KBz K , 内在充分小使取 Kzzz zz  )()( zFzzF   zzzzz ff00d)(d)( 由于积分与路线无关 , , d)( 00zzfzzz 到的积分路线可先取  , zzz 沿直线到然后从 0z) d)( :(0路线相同的这一段与注意 zzf  , )( 的定义由 zF )()( zFzzF于是 ,d)(  zzz f   zzz zf d)( 因为   zzzzf d)( ,)( zzf Bz K zz 0z )()()( zfz zFzzF  所以)(d)(1 zffz zzz     d)]()([1 zffz zzz   Bz K zz 0z  , )( 内解析在因为 Bzf , )( 内连续在所以 Bzf,0,0  故 , 内都在的一切使得满足 Kz   , 时即  z ,)()(   zff总有由积分的估值性质 , )()()( zfz zFzzF  )()()( zfz zFzzF    d)]()([1 zffz zzz    d|)()(|1 zffz zzz    .1   zz,0)()()(lim 0 zfz zFzzFz于是).()( zfzF 即 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似 . [证毕 ] 2. 原函数的定义 : . )( )( ,)()( ,)( )( 的原函数内在区域为那末称即内的导数为在区域如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数是显然 zffzF zz 原函数之间的关系 : . )( 一个常数的任何两个原函数相差zf证 , )( )( )( 的任何两个原函数是和设 zfzHzG  )()()()( zHzGzHzG 那末0)()(  zfzf .)()( czHzG 于是 ) ( 为任意常数c ,)( )( zFBzf 内有一个原函数在区域如果那末它就有无穷多个原函数 , .)()( 为任意常数一般表达式为 cczF 根据以上讨论可知 : [证毕 ] 3. 不定积分的定义 : .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf记作的不定积分为为任意常数的原函数的一般表达式称定理三 . , )()(d)( , )( )( , )( 100110内的两点为域这里那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz(类似于牛顿 莱布尼兹公式 ) 证 , )( d)( 0的原函数也是因为 zfzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所以 , 0 时当 zz  根据柯西 古萨基本定理 , ,)( 0zGc 得 ,)()( d)( 00zGzGzzfzz 所以 .)()( d)( 0110zGzGzzfzz 或 [证毕 ] 说明 : 有了以上定理 , 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算 . 二、典型例题 例 1 解 . d 10的值求  zz zz , 是解析函数因为 z ,21 2z它的原函数是由牛顿 莱布尼兹公式知 , 21 d 10102zzzzzzz  ).(21 2021 zz 例 2 . dc o s 0 2 的值求   i zzz解  i zzz0 2 dc o s   i zz022 dc os21iz02s in21 )s i n(21 2 .s in21 2(使用了微积分学中的“ 凑微分 ”法 ) 例 3 . dc o s 0 的值求  i zzzi zzz0 dc o s  i zz0 )( s i nd ii zzzz 00 ds i n]s i n[解 izzz 0]c oss i n[  .11  e此方法使用了微积分中“ 分部积分法 ” 例 4 . )( ,0d)( , )( 内解析在证明都有内任何一条简单闭曲线且对于内连续在单连通域设函数BzfzzfCBBzfC(Morera定理 ) 证 , , 0 内任意一点为内取定一点在 BzzB依题意可知 , d)( 00的路线无关和的值与连接 zzfzz  , d)()( 0 zz fzF 定义了一个单值函数参照本章第四节定理二 , 可证明 ),()( zfzF  , )( 内一个解析函数是所以 BzF因为解析函数的导数仍为解析函数 , . )( 为解析函数故 zf 解析函数在单连通域内积分的牛顿 –莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同 ? 两者的提法和结果是类似的 .。 , , , )( 0 都是复数因而且积分路线是曲线为单连域中的解析函数但在复积分中要求zzCzf. , , ],[ )( 都是实数数上的连续实函为区间在实积分中要求xabaxf两者对函数的要求差异很大 . , , 00 zzzC的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线 , )( 的连续性由 zf , )( 0 处的值接近于它在圆心的缩小而逐渐的值将随着上函数在zzfC  )(.d)( d)(000缩小将接近于   CC zzz zfzzz zf C zzz zf d)(00 ).(2d1)(000 zifzzzzf C  一、问题的提出 第五节 柯西积分公式 二、柯西积分公式 定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(π21)( , , , , )( 000那末内任一点为于它的内部完全含闭曲线内的任何一条正向简单为内处处解析在区域如果函数D0zC证 , )( 0 连续在因为 zzf,0 则 ,0)(  D0zC K , 0 时当  zz . )()( 0  zfzf, :)( , 00的内部全在的正向圆周半径为为中心设以CRzzKRRz R C zzz zf d)( 0则   K zzz zf d)(0  KK zzz zfzfzzz。