积分方法与定积分的应用(编辑修改稿)

积分方法与定积分的应用(编辑修改稿)内容摘要：

xh Mhdttfm  )(hhhxxhhhMhdttfm  000l i m)(l i ml i m)()(l i m0xfhdttfhxxh  33 所以， hdttfdxdttfddxxdFhxxhxa  )(lim)()(0)()(lim0xfhdttfhxxh  若 f(x)有 0的部分，則 的定義方法 為將 分成 0和 0兩部分。 ba dxxf )()(xf ，若 ，若 )(xf)(xf，若 ，若 定義 0)()( xfxf)(xf 0 0 )(0)(xfxf )(xf 0 0 )()()0),(m a x ()()0),(m a x ()( xfxfxfxfxf   ，意即 34 由於 和 皆為連續函數， 意即定積分存在，定義 )(xf  )(xf     ba baba dxxfdxxfdxxf )()()(    xa xaxa dttfdttfdttfxF )()()()(則 )()()()( xfxfxfdx xdF  (因為 0時，則 =0；反之， 若 0時，則 =0) )(xf )(xf )(xf )(xf 35 由不定積分求定積分： 設 ，而已知 xa xFdttf )()(   CxGdxxf )()(但 CxGxFxGxfxF  )()()()()()()()()()()(0 aGxGxFkaGkaGaF 令   ba aGbGdxxfbx )()()(由上述運算式可知為何反微分又稱為 不定積分的原因。 將以上結果用到定義 2可得 36 定理 4： 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus) 若函數 在閉區間 [a,b]為連續，則  ba aFbFdxxf )()()(f其中函數 為 的任一不定積分。 F dxxf )(證明：按照定義 2將 [a,b] n等分成 長度為 的閉區間 nabx nkxxxkaxkaI kkk ,...3,2,1],[],)1([ 1  )()()()()()()( 2211 xFxFxFxFxFaFbF nnnn   nkkk xFxFxFxFxF11011 ])()([)()()(37 因為 為可微分函數，所以 亦為連續函數。 由微分均值定理可知存在 ，滿足 F),( 1* kkk xxx xxfxxxFxFxF kkkkkk   )())(()()( *1*1所以  nkknkkk xxfxFxFaFbF1*11 )()]()([)()( bankkn dxxfxxf )()(lim1*為方便起見我們用 來表示 ， 意即 baxF )()()( aFbF  ba ba aFbFxFdxxf )()()()(F38 其中 a稱為 積分下限 ,b稱為 積分上限。 根據定理 1及定理 4,我們有如下的 定理 5: 若 c,d為常數 ,則   bababadxxgddxxfcdxxdgxcf )()()]()([例 11: 利用定理 4求拋物線 下 由 到 涵蓋的面積，其中。 ax  bx 2xy ba 03333332 | abxdxxA baba 解 : 面積 此結果合例題 10的結果吻合。 39 例 12：求定積分  21 2 )13( dxxx  2 1 2 12322114)1211(122)13( xxxdxxx解： 解： 為函數 的一個不定積分， 例 13：計算  40 12 dxx 231231 x 12 x故由定理 4可得     40 40 3261931123112 232323xdxx解：由於 為偶函數，所以 例 14：計算   226 1 dxx 16 x        7284712820 20762 2 6 222121 7   xdxxdxx x40 (The Integration Rules) 利用 Chain Rule我們可得積分代換法，即 定理 6：積分代換法 (The Subsititution Rule) 若函數 和 的一次微分函數 為 連續，則 gf g   CxgFduufdxxgxgf ))(()()())((其中 ， 為常數。 證明：設 ，則 )()( xfxF  C)( xgu )())(()()()())(( xgxgfdx xdgufdxdudu udFdx xgdF 故  dxxgxgfCxgF )())(())((41 在運用上設 ，則 )( xgu dxduxg  )(   duufdxdxduufdxxgxgf )()()())((例 15：求 解：令 所以   dxxx )2c o s( 2x d xdux d xduxu  2222  u d udxxx c o s)2c o s( 212CxCu 2)2s i n (2s i n 242 例 16：求 解：令 ，則 利用定理 6，得   dxxx )2c o s( 4324  xu4433 dudxxdxxdu    ududuudxxx c o s4141c o s)2c o s ( 43Cu  s i n41Cx  )2s i n (41 443 例 17：求 解：令 ，則   dxx 12 dxduxu 212    duuduudxx 2121212CuCu  2323313221Cx  23)12(3144 例 18：求 解：令 ，則 由定理 6可知  x d x5c o sxu 5 dxdu 5  u d ux d x c o s515c o sCx  5s i n51Cu  s i n5145 例 19：求 解：由於 ，故可令 ，再利用 積分代換法可得  x d x3c o sxx c o s)si n1(c o s 23 x d xduxu c o ssi n    duux d xxx d x )1(c o s)si n1(c o s 223Cuu  331Cxx 3s i。