有限元思路框图(编辑修改稿)

有限元思路框图(编辑修改稿)内容摘要：

          （ 224） ])()()[(21mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu ])()()[(21mmmmjjjjiiii ycxbaycxbaycxbaA  （ 216） 求导后代入式（ 26），得到应变和节点位移的关系式。 xvyuyvxu ,}]{[}{  B （ 225） 式中 , [B]—— 单元应变矩阵。 对本问题 ， 维数为 3 6。 它的分块形式为： ]][][][[][ mji BBBB 子矩阵 : ),(0021][ mjibccbABiiiii （ 226） 由于 与 x、 y无关 ， 都是常量 ， 因此[B]矩阵也是常量。 单元中任一点的应变分量是 [B]矩阵与单元节点位移的乘积 ， 因而也都是常量。 因此 ， 这种单元被称为常应变单元。 mmjjii cbcbcbA ,,单元应力矩阵 将式（ 225）代入物理方程式（ 28），得 }]{[}{  D （ 28） }]{][[}{  BD （ 227） 上式也可写为： }]{[}{  S （ 228） 这是单元内任一点应力与单元位移的关系式。 其中 [S]称为单元应力矩阵 ， 并有： （ 229） ]][[][ BDS  [D]是 3 3 弹性矩阵 ， [B]是 3 6应变矩阵 ，因此 [S]也是3 6 矩阵。 它可写为分块形式 ]][][][[][ mji SSSS （ 230） 将弹性矩阵 （ 式 （ 29）） 和应变矩阵 （ 式 （ 226））代入 ， 得子矩阵 [Si] 由式（ 229）得： ]][[][ ii BDS ),(2121)1(2][2mjibcccbbAESiiiiiii（ 231） 式 （ 231） 是 平面应力问题 的结果。 对于平面应变问题 ，只要将上式中的 E换成 ， 换成 即得。 21 E1),()1(221)1(22111)21)(1(2)1(][ mjibccbcbAESiiiiiii（ 232） 由于同一单元中的 [D]、 [B]矩阵都是常数矩阵 ， 所以 [S]矩阵也是常数矩阵。 也就是说 ， 三角形三节点单元内的应力分量也是常量。 当然 ， 相邻单元的 E， ， A和 bi、 ci(i， j， m)一般不完全相同 ， 因而具有不同的应力 ， 这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。 但是随着网格的细分 ， 这种突变将会迅速减小 ， 平衡被满足。  61  31  36B 几何关系位移函数  33D 几何关系  31 ? 平衡关系  61F     36S D B   66 ?ek  单元刚度矩阵 单元应变能和外力势能的矩阵表达 单元应变能 仍以平面应力问题中的三角形单元说明，设单元厚度为 h 1()21{ } { }2x x y y x y x yATAU h d x d yh d x d y       将式 （ 225） 和 （ 227） 代入上式进行矩阵运算 ， 并注意到弹性矩阵 [D]的对称性 ， 有  A T hdx dyDU }]{[}{21    A TT hdx dyBDB  ]][[][}{21应变能 U为： i j m x y h         TTTT DD   )(    B由于 和 T是常量，提到积分号外，上式可写成   }{]][[][}{21   A TT hdx dyBDBU引入矩阵符号 [k]，且有：  A T hd x dyBDBk ]][[][][（ 233a） 式（ 233a）是针对平面问题三角形单元推出的。 注意到其中 hdxdy的实质是任意的微体积 dv，于是得 [k]的一般式。     dvBDBkvT][（ 233） 式（ 233）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元 [k]的一般式。   A TT hdx dyBDBU  ]][[][}{21 [k]的力学意义是单元刚度矩阵。 式（ 233）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。 它适合于各种类型的单元。 单元应变能 写成 }]{[}{21  kU T（ 234） 单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力 、 表面力和集中力。 自重属于体积力范畴。 表面力指作用在单元表面的分布载荷 ， 如风力 、 压力 ， 以及相邻单元互相作用的内力等。     dvBDBkvT][（ 233） （ 1） 体积力势能 单位体积中的体积力 如式（ 22）所示。 单元上体积力具有的势能 Vv为  A VTv h d x d yqfV }{}{（ 22） TVyVxV qqq ][}{ i j m x y qVx qVy i j m x y u v 注意到式（ 220）   A VTTA VTv hd x dyqNhd x dyqNV }{][}{}{})]{([ 有 }]{[}{ Nf （ 220） （ 2） 表面力势能 面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力 ， 但它们属于结构内力 ， 成对出现 ， 集合时互相抵消 ，在结构整体分析时可以不加考虑 ， 因此单元分析时也就不予考虑。 现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。 设 边界单位长度上受到的表面力 如式（ 21）。 dAqNhdlqfV l STTl STS   }{][}{}{}{ l— 单元边界长度 h— 单元厚度 A— 表面力作用面积 （ 21） Tsysxsysxs qqqqq ][}{ ① ② ③ ④ qs 则单元表面力的势能 Vs为 （ 3） 集中力势能 当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。 于是单元集中力 Pc的势能 Vc为 }{}{ CTC PV （ 4）外力 总势能 CSV VVVV  如果把（ 235）式中原括号内的部分用列阵 Fd代替， 综合以上诸式，单元外力的总势能 V为    l CSTA VTT phdlqNhdx dyqN }{}{][}{][}{  （ 235） Fd具有和 相同的行、列数。 则： dF 由单元的应变能 U（ 234） 和外力势能 V（ 236） , 可得单元的总势能  }{}{}]{[}{21 dTT FkVU  （ 237） 以节点位移为未知量，对总势能取极值问题变成了一个多元函数的极值问题。 有极值条件 0}{   能量原理和单元平衡方程 }{}{ dT FV （ 236） 式（ 238）是从能量原理导出的单元平衡方程。 这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。 其中， Fd和单元节点力 F具有相同的意义。 }{}]{[ dFk  （ 238） 于是，将式（ 237）代入，即得单元平衡方程 : 根据弹性力学能量原理： 结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。 单元刚度矩阵 平衡方程（ 238）中的矩阵 [k]是单元力和单元位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称为单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵的体积为 nj nj， nj 是单元位移总数。 计算单元刚度矩阵的一般公式 计算各类单元的单元刚度矩阵可用式（ 233）执行。 它与单元应变矩阵 [B]和弹性矩阵 [D]有关。     dvBDBkvT][（ 233） 对于平面应力三角形单元，应变矩阵 [B]是常数矩阵，同时弹性矩阵 [D]也是常数矩阵，于是式（ 233）可以化简为 式中 A表示三角形单元的面积。 平面问题三角形单元刚度矩阵 （ 1）平面应力三角形单元    hASBhABDBk TT 。