ch5留数(编辑修改稿)

ch5留数(编辑修改稿)内容摘要：

kzzkzskz33 169。 2020, Henan Polytechnic University 33 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换   ninikzsiz dznknz422,tanRe2tan2121    故 由留数定理得：  (1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则 . 6s i n)()()(zzzzQzPzf ,)(001c o s)0(39。 0s i n)0(0)c o s1()0(39。 0)0(000的三阶零点是由于zpzzpzpzppzzz如 是 f (z)的三阶极点 . 34 169。 2020, Henan Polytechnic University 34 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 :)( 级数展开作若将 L a u r e n tzfs i nl i m)!13(10,s i nRe306    zzzzzzsz由规则!510,s i nRe6  zzzszzzzzzzzzz1!511!31)]!51!31([1s i n35366该方法较规则 II更简单。 35 169。 2020, Henan Polytechnic University 35 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换     665506s i nlim)!16(10,s i nRezzzzdzdzzzsz (2) 由规则 II 的推导过程知，在使用规则 II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单 . 如 !51)c os(lim!51)s i n(lim!510550zzzdzdzz36 169。 2020, Henan Polytechnic University 36 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 3. 在无穷远点的留数 .)()(21)(的留数在为闭曲线，那么称积分向为圆环域内一条简单正内解析，在圆环域设  zfdzzfiCzRzfC   wccwcwcwfwwz mm 1)1()(,1 101则若令定义 1)),((Re  czfs由此得 )0),1(1(Re)),((Re 2 wfwszfs .3 2)( 2 的留数在点例如求  zzzf37 169。 2020, Henan Polytechnic University 37 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 定理 如果 f (z) 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点）， 那么 f (z) 在 所有孤立奇点 的 留数和等于零 . .1)2()。 ,1(Re12 42dzzzzzeszz  ）练习：（38 169。 2020, Henan Polytechnic University 38 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 167。 留数在定积分计算上的应用 的有理函数；为其中  s i n,c os)s i n,(c os,)s i n,(c os .1 20 RdR 。 )( .2 dxxR   ).0( )( .3 adxexR i a x39 169。 2020, Henan Polytechnic University 39 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 在数学分析中 ， 以及许多实际问题中 ， 往往要求计算出一些定积分或反常积分的值 ， 而这些积分中的被积函数的原函数 ， 不能用初等函数表示出来；例如   ,1c os,s i n 2 dxx xdxx x或者有时可以求出原函数 ， 但计算也往往非常复杂 ， 例如   ,)1( 1 22 dxx40 169。 2020, Henan Polytechnic University 40 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 （ 2） 利用留数计算积分 ， 没有一些通用的方法， 我们主要通过例子进行讨论； 利用留数计算积分的特点： （ 1） 利用留数定理 ， 我们把计算一些积分的问题 ， 转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数 ， 从而大大化简了计算； 41 169。 2020, Henan Polytechnic University 41 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 例 1. 计算积分 20,s i n tadtI其中常数 a1. 解：令 ze it izdzdtzzit  ),(s i n121而且当 t从 0增加到 2时 ， z按逆时针方向绕 圆 C:|z|=1一周 . 42 169。 2020, Henan Polytechnic University 42 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 因此 ,1222 C i azzdzI于是应用留数定理 ， 只需计算 1222  i azz在 |z|1内极点处的留数 ， 就可求出 I. 上面的被积函数有两个极点： 121  aiiaz 122  aiiaz显然 1||,1||21  zz43 169。 2020, Henan Polytechnic University 43 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 因此被积函数在 |z|1内只有一个极点 z1， 而它在这点的留数是： .11222),(R e s211  aiiazzf于是求得 .1211222 aaiiI 44 169。 2020, Henan Polytechnic University 44 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 结论 1. 计算形如 ,)c os,(s i n20  dtttRI的积分 ， 其中 R(x,y)是有理分式 ， 并且在圆C:|z|=1上 ， 分母不等于零时可得： .1)21,21(122dzizzzizzRIz 45 169。 2020, Henan Polytechnic University 45 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 例 2. 计算积分    ,)1( 22xdxI解：首先 ， 这是一个广义积分 ， 它显然是收敛的 .我们应用留数定理来计算它 .考虑函数 22 )1(1z这个函数有两个二阶极点 ， 在上半平面上的一个是 z= O为心 、 r为半径的圆盘 . 46 169。 2020, Henan Polytechnic University 46 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换    rr r zdzxdx2222 )1()1(.2412),)1(1(R e s222 iiizir其中 表示 Cr上的圆弧部分 ， 沿它的积分是按幅角增加的方向取的 . 考虑这一圆盘在上半平面的部分 ， 设其边界为 r1， 那么 z=i包含在 Cr的内区域内 ,沿 Cr取 22 )1(1z的积分 ， 得 47 169。 2020, Henan Polytechnic University 47 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 现在估计积分  r zdz22 )1(我们有 ,)1( 1|)1(| 2222 rrzdzr因此 ,0)1(l i m 22  r zdzr令 ， 就得到 r.2)1( 22    xdxI48 169。 2020, Henan Polytechnic University 48 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 结论 ， 我们可以计算一般形如 ,)(  dxxRI的积分 ， 其中 R(x)是有理分式 ， 分母在实轴上不为零 ， 并且分母的次数比分子的次数至少高 2次 . .),2,1(,)),((Re21点为上半平面所有孤立奇其中 nkzzzRsiIknkk 49 169。 2020, Henan Polytechnic University 49 第五章留数 8 October 2020 课程目录 复变函数与积分变换 )2( )( 1111 nmbzbz azazzRmnmnnn由于mmnnnmmmnnnm zbzbzazazzbzbzazazzR  11111111111111)( 故219111)(101,10121111zzzRzbzbzazaznmmmnn可得充分大时，可使当 .0)(,2)()(2RRRCCCdzzRRRRdszRdzzR时即当因此， 50 16。