44数字特征与极限定理(编辑修改稿)

44数字特征与极限定理(编辑修改稿)内容摘要：

数学期望的性质 1. 设 C是常数，则 E(C)=C。 4. 设 X、 Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)。 2. 若 k是常数，则 E(kX)=kE(X)。 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)。 niinii XEXE11)(][:推广niinii XEXE11)(][:推广（诸 Xi独立时） 注意 :由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y独立 五、数学期望性质的应用 例 1 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数 . 现在我们来求 X的数学期望 . 可见，服从参数为 n和 p的二项分布的随机变量 X的数学期望是 np. X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+ Xn = np 次试验失败如第次试验成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p niiXE1)(所以 E(X)= 则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数 . E(Xi)= )1(01 pp  = p 例 2 把数字 1,2,… ,n任意地排成一列 ， 如果数字 k恰好出现在第 k个位置上 ， 则称为一个巧合 ， 求巧合个数的数学期望 . 由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解 : 设巧合个数为 X, 否则，个位置上恰好出现在第数字0,1 kkXk k=1,2, …, n nkkXX1则 !)!1(nn n1nkkXEXE1)()(故 11 nn引入 例 3 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为 p,乙为 q， pq,p+q=乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a, 乙为 b, ab. 现在的问题是： a究竟应比 b大多少，才能做到公正。 解：设甲赢的钱数为 X，乙赢的钱数为 Y， 依题意 ,~  qpabX ,~  pqbaY解：设甲赢的钱数为 X，乙赢的钱数为 Y， 为对双方公正 ,应有 依题意 ,~  qpabX ,~  pqbaYE(X)=bp+(a)q, E(Y)=aq+(b)p bpaq=aqbp=0, qbpa 故 期望与风险并存．数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策． 例如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高 (成功的概率为，获利 2020元 )； 如经营工艺品，风险小但获利少 (95％会赚，但利润为 1000元 )．究竟该如何决策。 所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高． 于是计算期望值： 若经营西瓜，期望值 E1= 2020=1400元． 而经营工艺品期望值 E2＝ 1000＝ 950元． 我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征 . 接下来我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征： 方差 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征 . 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的 . 例如，某零件的真实长度为 a，现用甲、乙两台仪器各测量 10次，将测量结果 X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢。 a      甲仪器测量结果 a     乙仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如 ,。