1了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单(编辑修改稿)

1了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单(编辑修改稿)内容摘要：

)在点 (1， f(1))处的切线的斜率为 3e. (2)f′(x)＝ [x2＋ (a＋ 2)x－ 2a2＋ 4a]ex. 令 f′(x)＝ 0，解得 x＝－ 2a或 x＝ a－ 2. 由 a≠ 知，－ 2a≠a－ 2. 以下分两种情况讨论 . (1)若 a ，则－ 2aa－ 2. 当 x变化时， f′(x)， f(x)的变化情况如下表： x (－ ∞，－ 2a) － 2a (－， a－ 2) a－ 2 (a－ 2，＋ ∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在 (－ ∞，－ 2a)， (a－ 2，＋ ∞)内是增函数，在 (－ 2a， a－ 2)内是减函数 .函数 f(x)在 x＝－ 2a处取得极大值 f(－ 2a)， 且 f(－ 2a)＝ 3ae－ f(x)在 x＝ a－ 2处取得极小值 f(a－ 2)， 且 f(a－ 2)＝ (4－ 3a)ea－ 2. (2)若 a ，则－ 2aa－ 2. 当 x变化时， f′(x)、 f(x)的变化情况如下表： x (－ ∞， a－ 2) a－ 2 (a－ 2，－2a) － 2a (－ 2a，＋ ∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大 值 极小 值 所以 f(x)在 (－ ∞， a－ 2)， (－ 2a，＋ ∞)内是增函数，在 (a－ 2，－ 2a)内是减函数 .函数 f(x)在 x＝ a－ 2处取得极大值 f(a－ 2)，且f(a－ 2)＝ (4－ 3a)ea－ 2. 函数 f(x)在 x＝－ 2a处取得极小值 f(－ 2a)，且 f(－ 2a)＝ 3ae－ 2a. 在第 (1)问的条件下，求 f(x)在 [－ 3,1]上的最值 . 解： 当 a＝ 0时， f(x)＝ x2ex， f′(x)＝ (x2＋ 2x)ex 令 f′(x)＝ 0，则 x＝ 0或 x＝－ x变化时， f′(x)、 f(x)的变化情况如下表： x － 3 (－ 3，－ 2) － 2 (－ 2,0) 0 (0,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 9e－ 3 极大 值 极小值 e ∴ f(x)在 [－ 3,1]上的极大值为 f(－ 2)＝ 4e－ 2，极小值 f(0)＝ 0. 又 ∵ f(－ 3)＝ 9e－ 3， f(1)＝ ∵ e＞ 4e－ 2＞ 9e－ 3＞ 0 ∴ f(x)的最大值为 e，最小值为 0. 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大 (小 )值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点 . (文 )某工厂每天生产某种产品最多不超过 40件，并且在生产过程中产品的正品率 P与每日生产量 x(x∈ N*)件之间的关系为 P＝ ，每生产一件正品盈利 4000元，每出现一件次品亏损 2020元 .(注：正品率＝产品中的正品件数 247。 产品总件数 100%) (1)将日利润 y(元 )表示成日产量 x(件 )的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大。 并求出日利润的最大值 . [思路点拨 ] [课堂笔记 ] (1)∵ y＝ － 2020(1－ )x ＝ 3600x－ ， ∴ 所求的函数关系式是 y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40). (2)显然 y′＝ 3600－ y′＝ 0，解得 x＝ 30. ∴ 当 1≤x30时， y′0；当 30x≤40时， y′0. ∴ 函数 y＝－ ＋ 3600(x∈ N*,1≤x≤40)在 [1,30)上是单 调递增函数，在 (30,40]上是单调递减函数 . ∴ 当 x＝ 30时，函数 y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40) 取得最大值，最大值为－ 303＋ 3600 30＝ 72020(元 ). ∴ 该厂的日产量为 30件时，日利润最大，其最大值为 72020元 . (理 )(2020山东高考 )两县城 A和 B相距 20 km，现计划在两县城外以 AB为直径的半圆弧 上选择一点 C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A和城 B的总影响度为对城 A与城 B的影响度之和 .记 C点到城 A的距离为 x km，建在 C处的垃圾处理厂对城A和城 B的总影响度为 ：垃圾处理厂对城 A的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B的影响度与所选地点到城 B的距离的平方成反比，比例系数为 的中点时，对城 A和城 B的总影响度为 . (1)将 y表示成 x的函数； (2)讨论 (1)中函数的单调性，并判断弧 上是否存在 一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城 B的总影响 度最小。 若存在，求出该点到城 A的距离；若不存在， 说明理由 . [思路点拨 ] [课堂笔记 ] (1)根据题意 ∠ ACB＝ 90176。 ， AC＝ x km， BC＝ km， 且建在 C处的垃圾处理厂对城 A的影响度为 ，对城 B的影响度为 ， 因此，总影响度 y＝ ＋ (0＜ x＜ 20). 又因为垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城 A和城 B的总影响度为 ， 所以 ＝ ， 解得 k＝ 9，所以 y＝ (0＜ x＜ 20). (2)因为 y′＝－ ＝ ＝。