机械优化设计讲义(编辑修改稿)

机械优化设计讲义(编辑修改稿)内容摘要：

 　 () 如果矩阵 A 既不是正 定的、负定的又不是半正定、半负定的，则称 矩阵 A 是 不定 的。 n元函数的梯度与方向导数 n元函数 f(x) 在点 x(k) 处沿 xi 坐标轴方向的变化率是 f(x) 在该点对坐标 xi的偏导数，即 ),2,1(,)( )( nixfik  　x 以这些偏导数为分量的 列向量 称为 n 元函数 f(x) 在点 x(k) 处 的 梯度 : Tnkkkkxfxfxff  )(,)(,)()( )(2)(1)()( xxxx  () n 元函数 f(x) 在点 x(k)处沿任意方向（图 ）     TnTknnkkk xxxxxxxxx  ,, 21)()(22)(11)( xxS () 的变化率称为 函数 f(x) 在点 x(k)处沿方向 S 的 方向导数 （标量）。 它被定义为 0 x2 x3 x1 S x(k) x Δ x3 Δ x1 Δ x2 图 从点 x(k)出发沿任意方向 S 到某点 x SxSxSxSxSS)(l i m)()(l i m)( )(0)()(0)( kkkk ffff  () 因为 S 的单位向量为 Tnxxx  SSSSSs , 21  () 根据 f(x)的全增量公式   　　　　　 SxSxxxxoxxfoxxfxxfxxffniiiknnkkkk 1)()(22)(11)()()()()()()(  () 所以   SxxsxsxsxSSsxSSSxSxSxSSS),(c o s)(),(c o s)()()(lim)(lim)(lim)()()()()()()(01)(0)(0)(kkkkTkTkniiikkkfffffofoxxfff　　　　　　　　　　　　 () 即函数 f(x)在点 x(k)处 沿方向 S 的变化率 等于 f(x)在该点处的 梯度与该方向的单位向量的内积 ，并且等于该点梯度的长度在该方向上的投影。 因此，函数 f(x)在点 x(k)处沿方向 S 的变化率随 S 与 该点梯度之间夹角的变化而变化。 当 S 与梯度方向重合（夹角为零）时其值最大（ +），当 S 在负梯度方向（夹角为 180 o）时其值最小（ ）。 当 S 与梯度方向垂直（夹角为 90o）时其值为零， 梯度方向是函数值上升最快的方向；负梯度方向是函数值下降最快的方向。 与梯度成锐角的方向是函数值上升的方向； 与梯度成钝角 的方向是 函数值下降 的方向 （图 ）。 如果 d∈ Rn 是 目标函数 f(x) 在点 x(k)处的一个 下降方向 ， 必有 0)( )(  kT f xd () 如果 d∈ Rn 是点 x(k)处的一个 可行方向 ， 必有 图 梯度方向与等值面（线）的关系 变化率为 0 的方向 x1 x2 x(k) 0 上 升最快方向 下 降最快方向 )( )(kf x1)( cf x12)( ccf x)( )(kf x下 降方向 上 升方向 )( )(kf xx(k) 1)( cf x Vvg kvT  　　0)( )(xd () 在最优点 x*处，其可行方向不能同时下降方向，即 当 x(k) = x*时，式 ()与式 ()不能同时成立。 n元 函数的泰勒展开式 记    TTkkk xxxxxx 21)(22)(11)( ,  xxx ， 二元函数 f(x)在点 x(k)处的 一阶泰勒展开式 ：   　　　　 xxxxxxxxxoffoxxfxxfffTkkkkk)()()()()()()()(22)(11)()( () 二阶泰勒展开式 ： x(k) g1(x)=0 g2(x)=0 g3(x)=0 D d )( )(kf xf(x)=ci (a) x(k) g1(x)=0 g2(x)=0 g3(x)=0 D d )( )(1 kg x)( )(2 kg x(b) 图 可行点的可行方向和在该点处的目标函数的下降方向  22222)(22121)(22121)(222)(11)()()()(2)(21)()()()(xxxxxxxxoxxfxxxxfxxfxxfxxfffkkkkkk　　　 () 把它写成矩阵形式，为     2)(2)()(22122)(212)(221)(221)(221212)(1)()()(21)()()()()()(21)(,)()()(xxxxxxxxxxxxxxxxofffoxxxfxxfxxfxfxxxxxfxfffkTTkkkkkkkkk　　　　　　 () 式中 22)(212)(221)(221)(2)(2)()()()()(xfxxfxxfxff kkkkkxxxxx () 它被称为二元函数 f(x) 在 点 x(k)处 的 海赛 (Hessian)矩阵 ，海赛矩阵是一个 对称方阵。 把二元函数的泰勒展开式推广到 n 元函数，得 n 元函数 f(x)在点 x(k)处的 一阶泰勒展开式 ：  xxxxx  offf Tkk )()()( )()( () 和 二阶泰勒展开式 ：  2)(2)()( )(21)()()( xxxxxxxx  offff kTTkk () 其中的 海赛矩阵 为 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 1 2 12 ( ) 2 ( ) 2 ( )2 ( ) 22 1 2 22 ( ) 2 ( ) 2 ( )212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )k k knk k kknk k kn n nf f fx x x x xf f ff x x x x xf f fx x x x x                   x x xx x xxx x x () 例 ： 已知二次函数 cf TT  xbAxxx 21)( 其中    ),2,1,(,,2122221112112121njiaaaaaaaaaaabbbxxxjiijnnnnnnTnTn　　　　　　Abx 求其梯度和海赛矩阵。 解    ni iinji jiij cxbxxaf 11,21)( x 由 inj jijinj jjinj jijibxabxaxaxf   111 2121)( x 得 bAxxxxx nnnnnnnninnjjnjnjjjnjjjnbbbxxxaaaaaaaaabxabxabxaxfxfxff2121212222111211121211121)()()()( 又由 njiabxaxxx f ijinj jijjji,2,1,)(12     　　　x 得 Ax nnnnnnaaaaaaaaaf2122221112112 )(。