正态分布的发展及应用(编辑修改稿)

正态分布的发展及应用(编辑修改稿)内容摘要：

果 期望值是 棣莫弗 用公式得到了当 p=1/2 时 这是 狄莫弗 由赌博问题计算出来的式子 ， 在 概率论应用及统计学中 有着非常崇高的地位。 从这开始，在 拉普拉斯 等其他学者的共同发展下， 中心极限定理 最终形成，称为 狄莫弗拉普拉斯中心极限定理 :[3] 设随机变量 X_n 服从参数为 p 的二项分布，则对任意的 x, 恒有 狄莫弗 在二项分布的 推算 中 只看到 正态曲线的 外貌 ， 他未能真正看到这条曲线的迷人之处，他的研究也到此为止了。 2． 3 为何当时正态分布未能 有 大发展 从现代的眼光来看 狄莫弗 对 正态分布的出现有着历史性的作用，他为正态分布的出现埋下了一颗希望的种子 ，可在当时狄莫弗所做的研究没有引起很多人的的重视，正态分布还处在一个萌芽状态， 根本 谈不上有什么应用。 我觉得还有 以 下原因： 首先，在那时人们随意概率论有着偏见，认为概率论的来源是赌博，人们反对 将他归入东海科学技术学院毕业论文 5 到科学领域，束缚的他的发展，那时的大数法则被推上的很高的位置，人们都无法挑战铁律。 其次，一个理论的发展需要现实的需要，而当时统计学的作用中用于人口的统计，非常有局限性，那时统计学中的二项分布运用的比较多，二正态分布由于不被社会所需要所以他的成长还需要一些过程。 再次，当时除了狄莫弗，当时的数学家对于概率论的研究都不是非常的感兴趣，他所得到帮助非常少。 最后是历史原因，在书写概率论的发展史中狄莫弗 二项式正态逼近被遗漏了，他对概率论所做的贡献在很长一段时间内被遗忘了，知道 拉普拉斯和高斯等人的出现，对正态 曲线有进一步的发展，人们才认识到狄莫弗的贡献。 东海科学技术学院毕业论文 6 人们对事物的检测，无可避免或多或少总会出现一些误差，不管是检测哪方面的，人们很早就知道了这一点，不过对检测结果的不确定性，人们总是不清楚，看法始终不能一致。 到了 18 世纪，数学 有了一个变化，人们研究数学是为了解决生活中的问题。 人们对概率论有了新的认识，概率论在日常生活中的应用也越来越多了，推动了误差问题的前进。 天文学的迅速发展，许多天文学家在研究天文问题时都涉及到天文数据的测量计算，这些为正态分布的发展提供 了温床。 3． 1 天文中的误差 天文学从古代至 18世纪一直是应用数学中最发达的领域，观测和数学天文学，给出了建模及数据拟合的最初例子。 正态分布的新生则是其中非常经典的例子。 人们对天文问题的研究促使天文学家非常关心在数值分析是算术平均是否合理，并开始从误差的角度来进行分析。 测量误差，一个无法避免的问题，在天文的一些数据测量中，不同的测量机构，不同测量机器，不同的测量人员等等都难免会有差异，所以测量结果页肯定会有差异，当去平均时可是受到的干扰最小，结果更接近真实值，测量值有误差，但基本都在真实值附近。 [4] 在 进行对天体观测数据的计算过程中发现了许多正态分布的特征，认为在观测中引起的误差与在计算中引起的误差是不一样的，小的观测值变化同意可以是距离值有很大的变化。 伟大的天文学家伽利略是第一个在作品中提出观测误差这个概念的，由于那时的概率论的知识有限，没能很好的解决这个问题。 后来辛普森对误差问题的研究也并没有取得很多的进展。 3． 2 误差论的形成 卡尔弗里德里希高斯 ， 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家 ， 与牛顿、阿基米德 被 称为 为 历史上最伟大三个 数学家，是近代数学奠基者之一。 在他 18 岁的发现了质数分布定 理和最小二乘法。 通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。 在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线 ， 正态误差理论 正式被提出 ， 在 70 年后 狄莫弗 推导出来的式子进入了概率的家庭中。 这一 函数被命名为标准正态分布 ， 在概率计算中 被 大量使用。 东海科学技术学院毕业论文 7 3． 2． 1 拉普拉斯的概率论 拉普拉斯 (1749－ 1827)是法国、数学家、分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1749 年生于法国 , 1816 年被选为法兰西学院院士， 1817 年任该院院长。 他是天体力学的主要创作人 ，天体演化学的创立者之一，在概率论的发展史中，拉普拉斯是古典概率论的第一人，所以说在数学界他是当时的先锋人。 在他 1812 年发表了代表作《概率分析理论》，在书中总结了当时整个概率论的研究，介绍了概率论在当时的应用。 书中包含了他毕生对概率论的研究成果，他用数学中的各种工具来对概率论进行分析，对概率论的发展有着举足轻重的作用。 他非常喜欢用归纳和类比的研究方法，是一位分析学大师。 在概率论史上，拉普拉斯被认为是古典概率论的集大成者，他运用许多的分析方法，把概率论的基本理论统统做了系统性整理， 把概率论变成了一门系统的学 科，为概率论的发展做出了伟大的贡献。 他继承 17 世纪伯努利对概率论的成果，把概率论应用到当天文地理、人口统计、赌博输赢、人寿保险、法庭判决等各个领域中去。 [5] 3． 2． 2 高斯分布 在数学界我们把高斯称为“数学王子 ，高斯一生的研究涉及到很多的领域甚至他开创了许多新的领域。 在他的观念中，他宁愿少的发表文章，他要让他所发表的东西是非常完整的。 高斯受拉普拉斯的影响非常深，他的概率论研究资料并没有出版成册，而是在他大量的论文中。 我们都知道高斯的一生很长一部分他的职务是任格丁根天文台台长，所有对天文学的研究从未间断 ，前面提到了天文学的误差论，高斯对此很感兴趣做了大量的研究， 1809 年，高斯发表了数学和天体力学专著《绕日天体运动的理论》其中涉及的误差分布的问题，他推导出来了正态分布的表达式 21( ) e x p22xfx  测量的误差是有许多原因形成的，但每个原因的影响都不是十分巨大，按照中心极限定理，他的分布近似于正态是无法阻挡。 拉普拉斯没有把这个成果用到误差分布上，而高斯做到了， 高斯 创造性把 正态分布 和 中心极限定理 联系在了一起 ， 演化出了新的 中心极限定理，其中就包含 正态分布。 紧接着高斯提出了 元误差学说 ， 既误差 并不是仅由一种原因形成的，而是由许许多多的元误差组成最后产生的误差。 这 理论 对于给正态误差论一个 非常合理 、 非东海科学技术学院毕业论文 8 常令人相信的解释有巨大的 意义。 因为，高斯 从算术平均的 优良 性出发 的，推 导出误差肯定服从正态分布；反之 ， 又 由 误差服从正态分布得出 算术平均 和 最小二乘估计的优良性。 [6] 1809 年，高斯 发表了 误差正态分布 完整理论系统 ， 后来他又发表了 最小二乘法 ， 中心极限定理 的公式及其理论 ， 在 整个概率论的发展有着举足轻重的作用，由于这个原因，正态分布又称高斯分布， 可见数学家 高斯 对整个数学界的地位 ，在高斯的所有 成就中，正态分布岁整个社会影响最大，这也体现了正态分布在概率论中的无法撼动的地位。 3． 3 基本误差假设 高斯推演出了正态概率密度函数，他的目的就是能让算术平均值能够作为真值的自然估计。 1810 年，拉普拉斯在 他日常对统计数值的计算分析时 ，得到了一样的密度函数，这是对高斯函数的一次证明。 当然新的理论还需要更多的被证明，而一些经验性的得出误差分布符合正态分布在数学上显然是站不住脚的。 贝塞尔在 1838 年非常完整的提出来了基本误差的一般性假设，中心极限定理 有了另一只新的证明方式。 他的 这么做的原因就是我们虽检测到的误差 出现的原因。 原因有 ： 整体的误差是由一些相互独立的 相同量阶 他们的联合形成的 ， 如果用 算术平均假设 和 最小二乘法 计算这个概率结果是一样的。 [7]贝塞尔 提出的 基本误差 假设 是关于有限矩的对称分布的随机变量， 由此得出的 有限矩的对称分布 的和的分布的渐近展开。 同时他认为 ，只要基本误差互相独立 的 ， 所有的基本误差的方差对 误差和的方差 有着 支配作用， 那么此时我们就认为 正态分布 就是 实际误差的分布 ，误差非常小可以忽略不计。 [8] 误差论的形成发展在当时并没有得到重视，对统计学的发展也没用体现出应有的作用，高斯的误差理论也一直没有应用 到 其他的方向，由于他产生于天文也一直用于天文，初具雏形的 正态分布 也始终没有在统计学中没有得到承认。 其原因就是在那时误差论和统计学就是两个完全没有关系的领域，误差论主要是对观测数据的分析计算，所用的知识都是高等数学方面的；而统计学只是对所得到的数据进行统计。 东海科学技术学院毕业论文 9 近代统计学，是指 18世纪中末叶至 19世纪中末叶中统计学，是古典统计学到现代统计学的过中间过程。 在古典统计时期的概率论发展史非常孤单的，与统计学的交流也非常少，概率论与统计学的水乳交融没有真正的实现。 到了近代统计时代，拉 普拉斯带带来了许多新鲜的事物。 拉普拉。