拉格朗日中值定理的应用(编辑修改稿)

拉格朗日中值定理的应用(编辑修改稿)内容摘要：

在区间 )1( nn ， 上是符合定理条件的。 所以 91010 10)1(  nn ，其中 nn  1 ，当 n 时， 。 所以  101101 9910109 limlim   nnn n xn。 在有些求极限 问题当中，用常规方法很难入手，但是运用拉格朗日中值定理却可以迎刃而解，尤其是一些比较复杂的分式的极限计算问题。 例 6 证明如果函数 xf 在 R 上可导，极限      0l i ml i ml i mx   xfxfxf xx 都存在，则极限与。 证明：运用拉格朗日中值定理    。 则设 AxfAxf xx   1, l i ml i m 于是有      xfxfxf  1。 x x 1x ,且又已知极限  xfx lim存 在， 则有         xfxffxfxxxx   1li mli mli m      01 l i ml i m  xfxf xx。 由此    0lim  xfx。 12 例 7 证明调和级数   n131211 是否收敛 证明：可做辅助函数为 xxf ln)(  ，在区间 )1( NN， 上符合拉格朗日中值定理的 要求。 则存在一点 )1(  NN， ，使NNN 11ln)1ln (  。 所以有 11ln2ln  ， 212ln3ln  ， 313ln4ln  ，……， nnn 1ln)1ln(  ， 所以 nn 131211)1ln (  , 由于  )1ln(lim nn，所以 nSn 1211  是发散的。 在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在 )1( NN， 各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断。 例 8 若一正项级数  01  aa nn n 发散， aaaa nn . . . . .321s  ，证明级数 1n 1sann （  0）收敛。 证明：做辅助函数   xxf1，则有  xxf  1， 当 2n 时 在 闭 区 间  snn ,s 1 上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 到       ),( 111 ssss ss nnnnnnnn fff   ，    ssaannnn   1111n 11ns于是有。 由 收敛  ssnn 11112n，所以原题得证。 对于 证明估值问题 ，尤其是二级或者二级以上的导函数估值， 一般情况下 通常 选用泰勒公式证明比较简便。 但 是 对于某些积分 上的 估值，可以采用 拉格朗日中值定理 中值定理来证明。 13 例 9 设导函数 xf 在  ca, 上连续，且有     0 bfaf ，记 M=max 设设导函数 f′ (x)在 [a,c]上连续且 f(a) = f(b) = 0, 记 M =  xfcxa max。 求证：24）（ ac  ca dxxfM。 证明 : 对任意的 b ∈ [a,c], 由拉格朗日中值定理可知 :     ca ca dxxfdxxf=        dxxfcfdxafxf cbca   =     Mdxxcfdxaxf cbba   21        ba cb dxxcdxax =     22 )( 22 bcabM。 令 2bab  ，则有      422ab222 acbc   ， 所以，原题得证，即24）（ ac  ca dxxfM。 例 10 设 39。 ( )fx 在 [, ]ab 上连续，且 ( ) ( ) 0f a f b，试证 ab ︱ 39。 ()fx︱ dx  4ba ()fx︱ ︱。 证明： 若 ( ) 0fx ，不等式显然成立。 若 ()fx 不恒等于零， ( , )c a b 使 ()fx︱ ︱ = ()fc ，在 ( , )ac 及 [,]ac 上分别用拉氏中值定理，有 12( ) ( )39。 ( ) , 39。 ( ) ,f c f cffc a c b 从而得： 112239。 39。 ( ) 39。 39。 ( ) 39。 39。 ( )ab f x d x f x d x f x d x  ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱139。 ( 2) 39。 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( )f f f c b ab c a c    ︱ ︱ ︱ ︱。 再利用 2()( ) ( ) 4bac a b c   ， 即得所证。 14 数性态 若 xf 在  ba, 上连续，在  ba, 内可导，则在  ba, 上       039。 0 xxfxfxf   （若  在 x 与 0x 之间），这可视为函数 xf 的一种变形，它建立了函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等 . （ 1）一致连续 例 11 证明如果 xf 在  ,a 上可导，且   ,ax ，有   Mxf 39。 , 其中 0M为常数，则 xf 在  ,a 上一致连续 . 证明 ：   , 21 axx ，在以 21,xx 为端点的区间上， 有      121239。 xx xfxff  ，且  介于 21,xx 之间。 再利用已知条件，有     1212 xxMxfxf  即 xf 在  ,a 上满足 Lipschitz 条件， 则 xf 在  ,a 上一致连续。 （ 2） 单调性 例 12 试证：若函数 xf 在  a,0 0a 上可导， xf39。 单调递增，且  00f ，则函数 xxf 在  a,0 上单调递增。 证明 ：对任意的 21,xx  a,0 ，且 21 xx ，则 xf 在  1,xo 和  21,xx 上均满足 拉格朗日中值定理，于是分别存在  1,0x ，  21,xx 使            121239。 1139。 ,0 xx xfxffox fxff  。 由于 xf39。 单调递增，且  00f ，所以     39。 39。 ff  ， 即：      121211 xx xfxfxxf  ，通 分移项整理得    2211 xxfxxf  ， 即函数 xxf 在  a,0 上单调递增。 （ 3） 有界性 15 例 13 设在 (, )ab 内 ()fx 可导且 39。 ()fx有界，试证 ()fx在 ( , )ab 有界 证明： 任取 0 ( , )x ab ，有拉格朗日中值定理知： 00( ) ( ) 39。 ( ) ( )f x f x g x x  （  在 0,xx 之间）， 可得： ()fx︱ ︱  0()fx︱ ︱ +｜ )(39。 f ︱ 0xx︱ ︱  0( ) ( )f x M b a︱ ︱ ， 式中 M 是 39。 ( )fx在 (, )ab 内的界，有︱ ()fx ︱ M ， 即 ()fx 在 (, )ab 内有界。 运用拉格朗日中值定理证明根的存在性的关键在于：构造辅助函数，运用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式罗尔中值定理与连续函数的介值性等证明根的存在性。 例 14设 ()Fx 在 [0,1] 上可导，且 0 ( ) 1,fx对于 (0,1) 内的所有点 x ，有( ) 1,fx 证明方程 ( ) 1 0f x x   在 (0,1) 内有唯一实。