高考中立体几何的解法探索(编辑修改稿)

高考中立体几何的解法探索(编辑修改稿)内容摘要：

平面 BCDG，得到几何体 A－ BCDG. 赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 6 图 4 (1)若 E， F分别为线段 AC， AD 的中点，求证： EF∥平面 ABG； (2)求证： AG⊥平面 BCDG. 解： (1)证明：依题意，折叠前后 CD、 BG位置关系不改变 ∴ CD∥ BG. ∵ E、 F 分别为线段 AC、 BD的中点 ∴在△ ACD 中， EF∥ CD ∴ EF∥ BG，又 EF⊄平面 ABG， BG⊂ 平面 ABG ∴ EF∥平面 ABG. (2)证明：将△ ADG 沿 GD 折起后， AG、 GD位置关系不改变 ∴ AG⊥ GD，又平面 ADG⊥平面 BCDG，平面 ADG∩ 平面 BCDG＝ GD， AG⊂ 平面 AGD ∴ AG⊥平面 BCDG. 间角、距离求值问题 空间角有异面直线所成角、线面所成角、二面角，距离有点点、点线、点面，线线、线面、面面距离，空间角和距的计算是历年高考考查的重点，经常出现在大题，应对这类为题要熟练掌握线面平行和垂直的判定与性质，在此基础上要灵活掌握各种空间角和距离的求解过程 . 下面以空间角和距离分别为例： 例 4： (2020 年天津，第 19题 )如图 5，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3  PABPDPAADAB ． （ 1）证明 AD 平面 PAB； （ 2）求异面直线 PC 与 AD所成的角； （ 3）求二面角 ABDP  的大小 . 赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 7 图 5 解： （ 1）证明：在 PAD 中，由题设 22,2  PDPA 可得 : 222 PDADPA  于是 PAAD . 在矩形 ABCD 中， ABAD .又 AABPA  ， 所以 AD 平面 PAB． （ 2）由题设， ADBC// ，所以 PCB （或其补角）是异面直线 PC 与 AD 所成的角 .在 PAB 中，由余弦定理得 : 由（ 1）知 AD 平面 PAB， PB 平面 PAB， 所以 PBAD ，因而 PBBC ，于是 PBC 是直角三角形，故27t a n BCPBPCB , 所以异面直线 PC 与 AD所成的角的大小为 27arctan ． （ 3）解：如图 6，过点 P做 ABPH 于 H，过点 H做 BDHE 于 E，连结 PE 因为 AD 平面 PAB， PH 平面 PAB, 所以 PHAD .又 AABAD  ， 因而 PH 平面 ABCD , 故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影 . 由三垂线定理可知 PEBD ， 从而 PEH 是二面角 ABDP  的平面角。 7cos222  PABABPAABPA赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 8 x yzNMABDCOP由题设可得 : 134,13,2,160c o s,360s i n22BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAPH  于是再 PHERT 中， 439tan PEH 所以二面角 ABDP  的大小为 439arctan ． 例 5: （ 2020 年高考上海卷（理） ，第 19 题 ）如图 6,在长方体 ABCDA1B1C1D1中 ,AB=2,AD=1,A1A=1,证明 :直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面D1AC 的距离 . D 1C 1B 1A 1D CBA 图 6 图 7 解： 因为 ABCDA1B1C1D1为长方体 ,故 1 1 1 1// ,AB C D AB C D, 故 ABC1D1为平行四边形 ,故 11//BC AD ,显然 B 不在平面 D1AC 上 ,于是直线 BC1平行于平面 DA1C。 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B到平面 D1AC的距离设为 h , 三棱锥 ABCD1的体积 ,以 ABC 为底面 ,可得 1 1 1( 1 2 ) 13 2 3V      , 而 1ADC 中 , 115 , 2A C D C A D  ,故132ADCS  , 所以 1 3 1 23 2 3 3V h h     ,即直线 BC1到平面 D1AC的距离为 23 . 用向量方法证明有关直线和平面的位置关系，求线段长度、点到面的距离及赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 9 求异面直线的夹角、斜线与平面所成的角、二面角等 .用向量法解决立体几何问题，使许多立体几何中‘形’的思维转化为‘数’的构想，从而使现代思想中数形结合的思想更充实了形数结合的内容，把许多空间抽象概念转化为具体的代数运算，降低了许多立体几何难题的艰辛度 .备考时熟练掌握空间向量的坐标运算、掌握利用向量证明平行、垂直及求距离、 角的方法 . 下面以向量法解立体几何为例 ： 例 6： (2020 安徽，第 18 题 )如图 7，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， 4ABC , OA ABCD 底 面 , 2OA ,M 为 OA 的中点， N 为 BC的中点 . （ 1）证明：直线 MN 平行于平面 OCD； （ 2）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （ 3）求点 B到平面 OCD 的距离 . 解 : 如图作 AP CD 于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO所在直线为 ,xyz 轴建立坐标系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N, （ 1） 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D        设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD 即 2 20222 2022yzx y z     取 2z ,解得 (0,4, 2)n 22(1 , , 1。