课题设计与毕业论文写作考试题(编辑修改稿)

课题设计与毕业论文写作考试题(编辑修改稿)内容摘要：

3  4 3 = 2 2 2[ ( ) 2 ] 2 ( ) 3 ( ) 1 0            又因为： 4 3 4 3 22( ) [ ) ( ) 3 ] 0           所以： 4 3 =10 0 52  构造递推式： 如果在某些求值问题中，如存在递推关系，可以通过构造递推式解决问题： 例：实数 , , ,abxy 满足： 2 2 3 3 4 43 , 7 , 1 6 , 4 2 ,a x b y a x b y a x b y a x b y       求 55ax by。 分析：如我们做如此构造： nnns ax by 则我们就可以构造出：12( ) , 3 , 4 ... ... ..n n ns x y s x y s n   把已知条件代进去得： 7 ( ) 3 1 6 , 1 6 ( ) 7 4 2x y x y x y x y     解得： 1 4 , 3 8,x y xy    所以： 1214 38 , ( 3 )n n ns s s n    故： 555 4 31 4 3 8s ax by s s    1 4 2 3 8 1 6 2     0 二、构造 2 0 解题： 我们知道，对于任意 a 有 2 0 ，因此只要能构造出 2 0 便得 0 ，那么如何构造 2 0解题呢。 常用的有以下几种方法： 利用配方构造： 例已知： ,xy为实数，且 22 422yx xy y   ，求 ,xy的值。 分析：将题设条件配方得： 2 2 211( ) ( 2 4 ) 044x x y y y y     ， 于 是 ： 2211( ) ( 2 ) 022x y y  ，于是：2211( ) ( 2 ) 022x y y   ，所以 1 02xy， 1 22y =0，所以 2, 4xy 利用整数的性质构造 ： 例 已知：正整数 ,abc满足不等式 2 2 2 4 2 9 8a b c a b b c     求 ,abc的值。 分析：因为 ,abc都是正整数，已知不等式的两边都是正整数，所以利用整数的性质，可以构造如下不等式： 2 2 2 4 3 9 8a b c a b b c     就是在不等式的左边加了个 1，然后通过配方可得：2 2 23( ) ( 6 ) ( 4 ) 024ba b c     即： 2 2 23( ) ( 6 ) ( 4 ) 024ba b c     ，所以 02ba ，6b =0， 4c =0，所以可以求解。 利用判别式构造： 例：如果实数 ,xy满足 4 4 22 1 4y x x y   ，求 ,xy的值。 分析：设 2xt 代入题设条件得： 422 1 4y t ty   ，即： 242 4 ( 1) 0t ty y   因为： t 为非负数，：所以关于 t 的方程 0, 即： 2416 8 ( 1) 0yy    经整理得： 22( 1) 0y ，即：2 10y  ，由此就可以得解。 利用基本不等式： 2( ) 4m n mn 解题： 例 已知： ,abc三个数满足 28 , 8 2 4 8 ,a b a b c c    试求方程： 2 0bx cx a   的根。 分析：由 2 8 2 4 8a b c c  得 2 8 2 48ab c c  因为： 2( ) 4 ,a b ab 所 以 ：26 4 4 ( 8 2 4 8)cc  整理得： 2( 4 2) 0c，就可以求方程的根了。 三、构造辅助元素： 在某些数学问题进行分析和转化过程中，直接求解往往不容易把条件和结论有机联系起来，然而通过构造辅助元素就可以把运算变简单或通过辅助元素把问题的条件和结论发生联系，寻求解题的捷径： 例：证明： 4 6 85 7 9   „„ 999999  分析：要证明的不等式两边是数字构成的，而通过观察我们知道不等式的左边比较复杂，证明的关键就是把左边化简，但通过观察不可能把左边和右边直接联系起来，再通过观 察左边，发现分子和分母的前后都有某种联系，但还缺少与之联系的中间量，因此关键就是把这个中间量（就是辅助元素）找出来。 如果我们做如此的构造： A= 4 6 85 7 9   „„ 9999991000000 B= 5 7 96 8 10  „„ 999998999999 显然 AB,则 A B= 41000000 ，由 AB 得 2A AB ，所以 2 41000000A  就得证明 可见上例显示了构造法在解决数学。