数学中的变换--几种常见变换在数学中的应用(编辑修改稿)

数学中的变换--几种常见变换在数学中的应用(编辑修改稿)内容摘要：

元 Tarlor 公式是指：若函数  12, , , nf x x x 在  0 0 00 1 2, , , nP x x x的某邻域  0UP 内具有直到 1n 阶连续偏导数，则对  0UP 内的任一点 0 0 01 1 2 2, , , nnx h x h x h  ， 有    0 0 0 0 0 01 1 2 2 1 2, , , , , ,n n nf x h x h x h f x x x             0 0 01 2 1 2 1 21 2 1 210 0 0 0 0 01 2 1 2 1 1 2 212[ 4 ]1, , ,!1, , , , , , ,1!0 1 .nn n nnnnn n n nnh h h f x x x h h hx x x n x x xf x x x h h h f x h x h x hn x x x                                        定理 [3]1 在正交变换 YX 下有    f X f Y，那么函数  fX在 点  0 0 00 1 2, , , nP x x x的值等于  fY 在点  0 0 00 1 2, , , nW y y y的 值，其中 0W 由 变换 YX 所对应的方程组在 X 取值 0P 时所唯一确定的值 . 定理 [3]2 若  12, , , nf x x x 在点 0P 的某邻城  0UP有直 到 1n 阶连续偏导数，则在正交变换后，  TfY 在点 0W 的邻城  0VQ也有 1n 阶连续偏导数，其中  0VQ是在 YX 变换下  0UP所对应 的邻城 . 这两个定理的结论是显而易见的，有这两个定理作保证，在求多元函数 Tarlor 公式时，就可以大胆使用正交变换，我们得到变换后的Tarlor 公式后，若想回到原变量，只需要在公式中作逆变换即可。 例 1    2, sinf x y x y在  0,0 的 Tarlor 展式。 解 :我们知道 0xy的法向量为  1,1n ，单位向量为 11,22，取此方向为变换后的 U 轴，另取 V 轴，使其与 U 轴正交，如取 11,22V  则这两个向量可构成正交矩阵 10 11221122  . 作正交变换 uxvy          即 11221122Tx u uy v v                  1 1 1 1,.2 2 2 2x u v y u v    则   2 22 , 2 .2x y u x y u    那么求    2, sinf x y x y在  0,0 点的 Tarlor 展式变成   2sin 2f u u在 0u 的 Tarlor 展式 . 所以                         3 5 2 12 2 2122213 5 2 12 2 1212 2 2s in 2 2 1 ,3 ! 5 ! 2 1 !s in 1 .3 ! 5 ! 2 1 !nnnnnnu u uu u R xnx y x y x yx y x y R xn                 二、 仿射变换 （一）仿射变换的定义及其性质 [5]1 若两个平面间（平面到自身）的一个点变换保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点变换称为仿射变换 . 11 [5]2 平面上点之间的一 个线性变换 1 1 1 2 1 31 1 1 22 1 2 22 1 2 2 2 339。 ,039。 x a x a y a aaaay a x a y a       叫做仿射变换 . ： （ 1）仿射变换把直线变成直线，并且保持共线三点的介于关系。 （ 2）仿射变换把不共线三点变成不共线三点。 （ 3）仿射变换把平行直线变成平行直线。 （ 4）在仿射变换下平行线段的长度比值不变。 （二）仿射变换在数学中的应用 例 求一个仿射变换将椭圆 221xyab变成一个圆。 解：设 39。 39。 xxayyb   1 则变换（ 1）是一个仿射变换，椭圆 221xyab经过这个仿射变换后的象为 2239。 39。 1xy，这是一个圆。 例 求一个仿射变换将圆 221xy变为一个椭圆。 解：设 39。 , 39。 x ax y by，则变换 39。 39。 x axy by 是一个仿射变换，圆 221xy 12 经过这个仿射变换后的象为 2239。 39。 1xyab，这是个椭圆 . 例 1 求椭圆的面积。 解：设在笛氏直角坐标系下的椭圆的方程为 221xyab 经过仿射变换 39。 39。 xxayyb  其对应图形为圆 2 2 239。 39。 x y a. 如图 1： （图 1） 在仿射变换下  39。 , 39。 , 39。 ，所以  对应 39。 39。 39。  ，其中39。  ，令椭圆面积为 TS ，圆面积为 S ，则 39。 39。 39。 T SSSS  所以 O OO B 39。  x 39。  y 39。  13 221122TS aab a ， 因此所给的椭圆的面积为 ab . 例 2 求椭圆 2219 25xy上两点1 352, 222p ，2 352 , 222P 和中心的连线以及椭圆弧 12 所 围成的面积12oppoS。 解：如图 2： （图 2） 仿射变换439。 3439。 5xxyy  把椭圆 2219 25xy变成圆 2239。 39。 16xy，相应的点123 5 3 52 , 2 , 2 , 22 2 2 2PP         分别变为    39。 39。 122 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2PP 。 在 39。  中 39。 39。 12 42PP ， 又因为 39。 39。 122 2 22s in42PPR   ， 所以 4 圆 39。  中的扇形面积 12 21 2 1 6 424O P P OSR      . 39。 2 39。 1 y 2 1 o  x y x 14 而 39。 39。 39。 39。 12124 4 163 5 15O P P Oop p oSS    ，所以39。 39。 39。 39。 12 121 5 51 6 4O P P O O P P OSS . 我们通过仿射变换不仅能够求出椭圆面积，也能求出椭圆的扇形面积，只要给出椭圆上的两点即可，椭圆的有关仿射性质的问题可以转化为圆的问题来解决，为解题或证明带来了极大的方便。 三、射影变换 （一）射影变换的定义 二次曲线是射影几何的重要组成部分 ,二次曲线分为抛物线、双曲线和椭圆。 在这里介绍二维射影变换的基本定理的一种证法和抛物线、双曲线和椭圆之间的互相转化问题。 [5] 两个平面间的一一对应，如果满足下列条件： （ 1）保持点和直线的结合性。 （ 2）任何共线四点的交比等于其对应四点的交比，则此一一对应叫做射影对应。