数学与应用数学毕业论文-求方程的近似解方法及比较分析(编辑修改稿)

数学与应用数学毕业论文-求方程的近似解方法及比较分析(编辑修改稿)内容摘要：

化为求解 Mx=Nx+b,由此可构造一个迭代法： x(0)(初始向量 ) ， x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) 其中， f=b/M,B=IA/M 为迭代法的迭代矩阵。 选取 M为 A 的对角元素组成的矩阵，即选取 M=D，可得到解 Ax=b 的雅克比迭代法： x(0)(初始向量 ),x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) BJ为求解 Ax=b 的雅克比迭代法的迭代矩阵。 解雅克比迭代法的计算公式为：     )(1), . . . . . . . ,(1)(11)()1()0()0(2)0(1)0(nijkjijijkjijiiikiTnxaxabaxxxxX （ k=0,1,2， …… :i=1,2,3,…… ..n） 雅克比方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论： 1)任何实对称矩阵 A 可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵 Q，使得 AQ=diag( ) 其中 i（ i=1,2,… ,n）是 A的特征值， Q中各列为相应的特征向量。 2）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。 即设 ， Q 为 交 7 矩阵，记 B= AQ= ,则 雅克比方法的基本思想： 是通过一次正交变换，将 A中的一对非 0的非对角 线 化成 0，并且使得非对角元素的平方和减小。 反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于 0，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 直接三角分解法 矩阵直接三角分解法： 是高斯消去法的变形方 法。 高斯消去法有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系数矩阵的化简。 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。 当用矩阵描述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘积，即 LU分解。 因此，高斯消去法与矩阵的 LU分解是一致的。 将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵 A 的元素得到计算 L， U 元素的递推公式，而不需要任何中间步骤，这就是所谓的直接三角分解法，一旦实现了矩阵 A的 LU分解，那么求解 Ax=b 的问题就等价于求解两个三角形方程组： 的问题，而这两个线性代 数方程组只要回代，就可以求出其解。 设 A为非奇异矩阵，且有分解式 A=LU，其中 L为单位下三角矩阵， U 为单位上三角矩阵， A= 第一步，用 L的第一行分别乘以 U 的第 j(j=1,2,… ,n)列，比较两边可得 (j=1,2,… ,n) 分别用 L 的第 i(i=1,2,… ,n)行乘 U 的第一列，比较可得 (i=1,2,… ,n) 即得 (i=1,2,… ,n) 这样就求出了 L的第一 列和 U的第一行的所有元素。 依次进行下去，一直到第 k1 步，即已求出 L的前 k1 列和 U的前 k1行的所有元素。 第 k步，用 L的第 k 行分别乘 U的第 j(j=k,k+1,… ,n)列，比较两边可得：= +… + + (j=k,k+1,… ,n) 8 分别用 L的第 i(i=k+1,… ,n)行乘 U的第 k 列，比较两边可得： = +… + + (i=k+1,… ,n) 总结上述讨论，得到用直接三角分解法求解 Ax=b 的计算公式： (j=1,2,… ,n), (i=2,3,… ,n) (j=k,k+1,… ,n) (i=k+1,k+2,… ,n) 及求解 Ly=b,Ux=y 的计算公式： (k=2,3,… ,n) ， (k=n1,n2,… ,2,1) 高斯列主元消去法 高斯顺序消去法的基本思想是： 对线性代数方程组所对应的增广矩阵（ A|b）进行一系列“把某一行的非零常数倍加到另一行上”的初等变换，使得（ A|b）中 A 的对角线一下的元素全变为 0，从而使原方程组等价的转化为容易。