几类常见的不可数集合证明(编辑修改稿)

几类常见的不可数集合证明(编辑修改稿)内容摘要：

1,0 可以排成一个序列 ： 1,0 = ,...,..., 21 naaa . 利用 Lebesgue 测度知识 ,知    11,0 m . 而 实际上    0,...,..., 21 naaam .两者是矛盾的 ,所以 1,0 是不可数集 . 证法 四 利用 Baire 纲定理证明 . 把闭区间 1,0 看作完备度量空间 1R (一维 Euclid 空间）的闭子集 .由于 完备长春师范学院本科毕业论文（设计） 6 空间内的闭集本身构成完备的子空间 ,所以 1,0 是一完备子空间 . 一方面 ,由 Baire 纲 定理 ,我们知道 任一完备空间是第二纲的 ,所以 1,0 是第二纲集 ； 另一方面 ,由于单点集是 1,0 中的疏朗集 .假若 1,0 是可数集 ,则 它 可表示为可数个疏朗集的并 ,从而为第一纲集 .这便推出了矛盾 .这样就证明了 1,0 是不可数集 . 证法 五 利用单调有界法则证明 . 假设 1,0 是可数集 ,令 1,0 = ,...,..., 21 naaa . 现构造递归数列如下： 令 01X ,，若，若，nnnnnnnnnn XaXXaXX3232321 21，n ,„ , 则｛ Xn ｝显然是递增数列 ,且 1X =0,Xn  1nX +132n122 3 23 2   nnnX „ 321X„ +12 3232   nn 1  ...32 ，n 根据单调有界法则 ,  10lim ，且  XXX nn,但 X 不等于任一 na .假若不然 ,则有某个 ra =X ,下面分两种情形讨论： (1)若 ra rX +r32,则 X =nn X1sup 1rX = rX +r32 ra ,这与 X = ra 矛 盾 . (2)若 ra  rX +r32,则此时有 1rX = rX , 2rX  1rX + 232r = rX + 132r , „„„„„„„„„„„ , krX  11 3 2   krkrX  122 3 23 2   krkrkrX „  rX + 132r„ +12 3 23 2   krkr 令 k ,两边取极限得： 长春师范学院本科毕业论文（设计） 7 X = krk Xlim rX +311321r =rX + r31 . 故 ra  rX +r32 rX +r31 X .这也与 X = ra 矛盾 .因此 ,不论哪种情形 ,总有 X  na ( ...21 ，n ).所以 ,1,0   ,...,..., 21 naaa . 这与假设矛盾 ,从而 1,0 是不可数集合 . 3 其它 几类 常见 的 不可数集证明 其它几类常见的不可数集合有：无理数集 、康托尔集、可数集的幂集等等 . 无理数集是 一个不可数集合 无理数 集 是 由全体无理数所组成的集合 .无理数 ,即非有理数之实数 ,不能写作两整数之比 .若将它写成小数形式 ,小数点之后的数字有无限多个 ,并且不会循环 . 常见的无理数有大 多数 平方 根、  和 e （其中后两者同时为 超越数 ）等 .无理数的另一特征是无限的 连分数 表达式 . 定理 无理数集是 一个不可数集合 . 证明 第一步 ,先证 明 有理数集是可数集： 设 ...321 ，， iiiAi  ...321 ，，i ,则 iA 是可数集 ,由可数集的性质 (4)我们知道全体正有理数成一可数集  1i iAQ. 因正负有理数通过   rr  ,成为 1— 1 对应 .故全体负 有理数成一可数集Q ,但有理数全体所成之集合 Q Q  Q  0 ,所以由可数集的性质 (5)知 Q为可数集 . 第二步 ,再证有限个可数集的并集还是可数集 . 容易找到一种 有限个可 数集 iA 的 排列顺序 :  ,..., 141312111 aaaaA  , 长春师。