一维等间距d势垒中的波函数及其物理性质(编辑修改稿)

一维等间距d势垒中的波函数及其物理性质(编辑修改稿)内容摘要：

（ ） ( ) , 2j 骣 247。 231。 162。 = + +231。 247。 桫%%ik x ik xk lx A e A e x （ ） 其中 ( ) ( )( ) ( )ⅱ=+ⅱ ?%%A F k A F k AA G k A G k A （ ） 由式 （ ） 可得一个表示透射波幅和入射波幅关系的矩阵 ()Mk ( ) ( ) ( )( ) ( )11骣 247。 231。 247。 231。 骣 162。 247。 231。 247。 247。 231。 231。 247。 247。 ==231。 231。 247。 247。 231。 231。 247。 247。 162。 231。 桫 231。 247。 247。 +231。 247。 231。 桫iiF k F k k L k LMkG k G k iik L k L （ ） 利用此矩阵，可将式 （ ） 写成 ( )骣 骣247。 247。 231。 231。 247。 =?231。 231。 247。 247。 231。 231。 247。 162。 162。 桫桫 %% AA Mk AA （ ） 因此，“透视矩阵” ()Mk可以根据波函数在势场“左侧”的行为如式 （ ） ，推知它在势场“右侧”的行为如式 （ ）。 对于势场 ( ) ( )0nd=V x x ，可通过透射矩阵 ()Mk由波函数 在 d 势垒 左侧的行为推知波函数在 d 势垒 右侧的行为。 根据 文献 [3]可知，一个有限区间内任意形状的势场（可以呈现一个或多个势垒、势阱等）对其本征函数的影响都可以用一个 22180。 的透射 ()Mk矩阵来描述。 2. ()Mk的性质 性质一 透射矩阵 ()Mk可以写为 以下 简单形式 ( ) ( ) ( )( ) ( )**骣 247。 231。 247。 = 231。 247。 231。 247。 231。 桫 F k G kMk G k F k。 证明 [3]： 因为 ( ) ( )V x V x* = ，如果 ()xj 是方程（ ）的一个解， 则 ()j* x 也是它的一个解。 由此， 考虑函数 ()*kvx，它是方程（ ）的一个解；比较 式 （ ）和（ ） 可知 ，若 /2xl，这个函数与 ()162。 kvx全同。 因而，对任意的 x ，有 ( ) ( )* 162。 =kkv x v x （ ） 将 式 （ ）和（ ）代入此式，便得到 第 7 页（共 16 页） ( ) ( )* 162。 =F k G k （ ） ( ) ( )* 162。 =G k F k （ ） 从而可 得 矩阵 ()Mk的简化形式，为 ( ) ( ) ( )( ) ( )**骣 247。 231。 247。 = 231。 247。 231。 247。 231。 桫 F k G kMk G k F k （ ） 性质二 定态时，有 ( ) ( ) ( )22 d e t 1 = =F k G k M k。 证明 [3]： 根据与定态相联系的 几率流密度 ()Jx在 Ox 轴上处处相同，即 几率流密度()Jx与 x 无关，可知不论 A 和 162。 A 如何，都应有 2222 ⅱ = %%A A A A （ ） 再由式（ ）和（ ）可以得到 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2222 22A A F k A G k A F k A G k AG k A F k A G k A F k AF k G k A A* * * ** * * *轾轾ⅱ ? = + +犏犏臌臌轾轾 ⅱ + +犏犏臌臌轾 轾 162。 = 犏 犏臌臌%%（ ） 于是条件（ ）等价于 ( ) ( ) ( )22 d e t 1 = =F k G k M k （ ） 3. 反射系数和透射系数 我们考虑一个能量为 iE 的 自左 向右 的入射粒子，则与之相对应的 0162。 =%A ，22/== hik k mE， 则 反射系数 R 和透射系数 S[4][5]分别为 ( ) ( )2/162。 iiA k A k 和( ) ( )2/162。 % iiA k A k。 因 0162。 =%A ，由 式（ ）及 （ ） 可得 ( ) ( ) ( )1*=%A k A kFk （ ） ( ) ( )( ) ( )*162。 = GkA k A kFk （ ） 从而反射系数和透射系数为 ( ) ( )( ) ( )( )22 221 221162。 = = = +iii A k G k kLRk A k F k k L （ ） 第 8 页（共 16 页） ( ) ( )( ) ( )21 2 22111+= = =% iii iAkSkA k k LFk （ ） 显然 ， 条件（ ）保证了 ( ) ( )11 1+=iiR k S k。 此结果与 文献 [3][4][5]结果一致。 反之，若粒子自右向左入射 ，则应取 0=A ，同理可 得 相应的反射系数 ()2 iRk和透射系数 ()2 iSk，可以看出 ( ) ( )12=iiR k R k 而且 ( ) ( )12=iiS k S k ； 亦即 只要能量已经给定，一个势垒（不论是否对称）的可穿透性对于来自左方与来自右方的粒子永远是一样的。 三、 一维周期分布 d势垒中粒子的物理性质 1. 理论模型的建立 我们 考虑由 N 个势垒并列形成的周期势 ()Vx，则各势垒的位置依次在0=x 、 =xl、 2=xl、、 ( )1=x N l 处。 在本文 ，研究 0E 的定态通过这些势垒时，非束缚态本征函数 ()jk x 的行为如何。 文 中 ()jk x 是 H 的本征值方程的解，式中 E 和 k 依旧由式 （ ） 相联系。 ( ) ( )2222 [ ] 0j禳镲镲 + =睚镲镲铪 h kdm E V x xdx （ ） （ 14） 22= hmEk； ( ) ( )10 0 d==229。 NnV x v x nl （ ） 因此，在 N 个势垒的左侧，即在 /2xl的区域中， ()Vx为零，其波函数可以表示为 在 /2?xl时，有 ( ) 00j 162。 =+ikx ikxk x A e A e （ ） （ 16） 如式 （ ） ~（ ） 所示，在以点 0=x 为中心的第一势垒范围内，可将式 （ ）的通解写 成 ( ) 11 ,02j 骣 247。 231。 162。 = + ＃231。 247。 桫ik x ik xk lx A e A e x （ ） （ 17） ( ) 11 , 2j 骣 247。 231。 162。 =+ ＃231。 247。 桫%% 0ik x ik xk lx A e A e x （ ） 同样，在以点 =xl为中心的第二个势垒的范围内，可得 第 9 页（共 16 页） ( ) ( ) ( )22 , 2j 骣 247。 231。 162。 =+ ＃231。 247。 桫ik x l ik x lk lx A e A e x l （ ） （ 18） ( ) ( ) ( )22 3, 2j 骣 247。 231。 162。 =+ ＃231。 247。 桫%%ik x l ik x lk lx A e A e l x （ ） 以此类推，在以点 ( )1=x n l 为中心的第 n 个 势垒 的范围内，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 , 1 12j 轾轾 臌臌 骣 247。 231。 162。 = + ＃ 231。 247。 桫ik x n l ik x n lk n n lx A e A e n l x n l（ ） （ 19） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 , 1 1 2j 轾轾 臌臌 骣 247。 231。 162。 = + ＃ +231。 247。 桫%%ik x n l ik x n lk n n lx。