emd求包络的算法(编辑修改稿)

emd求包络的算法(编辑修改稿)内容摘要：

tTrnasform)通过一种可伸缩和平 移小波对信号作变换达到了时频局部化分析的目的。 小波分析是一种在时域对信号进行离散变换，在频域进行谱分析的方法。 它具有高分辨率的特点，而且在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。 它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在 3 高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象，所以被誉为分析信号的显微镜和望远镜。 但是，小波分析中所用到的小波函数是不唯一的，小波变换本质上是一种窗口可调的 Fourier 变换，其小波窗内的信号必须是平稳的，因而没有摆脱 Fourier 变换 的局限。 目前，最广泛应用的 Morlet 小波是基于 Fourier 分析得到的，它只能对线性信号做出有效物理解释。 它能解决频率渐进波间的频率调制问题而不能解决波内频率调制问题。 而且小波基的有限长会造成信号能量的泄漏，使信号的能量一频率一时间分布很难定量给出。 另外，小波变换是非适应性的，小波基一旦选定，在整个信号分析过程中就只能使用一个小波基。 有时小波变换的解释也不直观，例如，用小波变换时，为了确定某一信号的局部变化，即使这一局部变换只是发生在低频范围内，也必须从高频范围内开始去寻找这一结果，因为频率越高，小波变换 局部化特性越好 [3][4][5]。 1998 年，美籍华人 Norden 等提出了 HilbertHuang 变换（ HHT：HilbertHuang Transform）。 它是一种分析非线性、非稳定信号的新方法。 该方法分析信号的思想不同于 Fourier 变换分析信号的思想，从根本上克服了Foureir 变换的局限性。 而且能描绘出信号的时频图、时频谱和幅值谱，是一种更具适应性的时频局部化分析方法。 HilbertHuang 变换虽然是近几年才提出的一种新的时间序列信号分析方法，但已经引起了人们的广泛关注 ，己成为信号分析领域的热门话题。 已有众多学者和科研机构都投入到 HilbertHuang 变换研究中来，如 NASA，青岛海洋大学也己建立了相关的实验室。 目前，国内外学者的研究主要集中在两个方面 :一是 HilbertHuang 变换方法的改进和完善，包括如何选取固有模态函数分离的终止标准，如何选取包络线的构造中的插值方法，以及如何降低端点飞翼现象 (End swing 4 pheonmena，端点出现过大或甚小振幅的现象，称之为端点飞翼现象 )的影响[6][7][8][9]等几个方面。 一是把 Hilbert－ Huang变 换推广应用于其他领域的非平稳信号分析，进一步验证了 Hilbert－ Huang 变换在处理非平稳信号时的优越性。 目前 Hilbert－ Huang 变换己被应用于生物工程 [10]，海洋 (汹涌，乱流 )[11]，金融 [12]，系统健康检测以及系统辨识 [13]等方面的非平稳信号分析。 Hilbert－ Huang 变换发展史 Hilbert－ Huang 变换是由 Huang 变换和 Hilbert 谱分析两部分组成。 Huang 变 换 的 核 心 是 经 验 模 态 分 解 (EMD ： Empirieal Mode Deeoniposition)，把复 杂的信号分解成从高频到低频的若干个固有模态函数(IMF:Intrinsie Mode Function)。 IMF 需具有以下两个特点 ： (a)其极值点 (极大值和极小值 )数目与跨零点数目相等或最多相差一个 ； (b)由其局部极大值构成的上包络和由其局部极小值构成的下包络的平均值为 0。 文中 证明了 IMF 的完备性和正交性，并给出了 EMD 的步骤如 u0(t)和下包络 v0(t)。 记上、下包络的均值曲线为 m0(t)，即 m0(t)= 2 )()( 00 tvtu  . () 记 下 ： 对任意信号 s(t)，首先求出 (s)t 的上包络 h1(t)=s(t)m0(t), () 判断 h1(t)是否满足条件 (a)和 (b)，若满足，则得到第一个 IMF， c1=h1(t)； 否则令 s(t)=h(t)，重复上述运算。 第 k 步 ， sk(t)=hk(t) () 5 记 mk(t)= 2 )()( tvtu kk  ,uk(t)和 vk(t)分别为 sk(t)的上下包络 ， 令 hk+1(t)=sk(t)mk(t). () 重复以上操作 ， 直到 hk+1(t)满足条件 (a)和 (b)时得到一个 IMF， 记为 c1(t)=hk+1(t)。 作计算 r(t)=s(t)c1(t)，对 r(t)重复以上过程，依次得到第二个 IMFc2(t)，第三个IMFc3(t)， …… ，直到 r(t)为一单调信号或其值小于预先给定的值时， EMD 分解结束。 由此得 s(t)的分解 式 s(t)= ni ii trtc1 )()( () 对每个 ci(t)作 Hilbert 变换，得 1~c =1  dtci )(. () 由于解析信号 ci(t) +j ic~ (t)可化为 ai(t) )(tije 的形式，故 s(t)=Renitji ieta1)()( =Renidttwji jeta1)()( , () 其中 j= 1 ,这里省略了 r(t),Re 表示取实部。 展开（ ）为 Hilbert 谱，记为 H（ t, ） =nidttji ieta1)()(  ( ) 由 Hilbert－ Hunag 变换的具体过程可以看出， Hilbert－ Hunag 变换对于信号具有多分辨特性，是一种更具自适应性质的时 频局部化特性的分析方法。 Hilbert－ Hunag 变换自推出以来己经成功地应用在湍流、地震等许多非线性研究领域。 可以预测，在不远的将来该方法必将在更多的研究领域中发挥巨大作用。 6 基础知识 在非平稳信号的分析与处理中，实际信号往往是实的，但却需要把它转换成复信号后进行数学表示与分析。 特别是，某些重要的瞬时物理量和时频表示就直接使用待分析实信号的复信号形式作定义。 那么，为什么需要这样的转换呢 ? 当信号 s(t)为实信号时，其频谱 dtetsfS ftj  2)()( （ ） 具有共轭对称性，因为 ).()()( 2* fSdtetsfS fti    （ ） 从有效信息的利用角度看问题，实信号的负频率频谱部分完全是冗余的，因为它可以从正频率的频谱获得。 将实信号的负频率频谱部分去掉，只保留正频率频谱部分，信号占有的频带减少一半，有利于无线通信 (称为单边带通信 )等。 只保留正频率频谱部分的信号，其频谱不再存在共扼对称性，所对应的时域信号应为复信号。 解析信号 表示复信号 z(t)的最简单方法是用给定的实信号 s(t)作其实部，并另外构造虚部 )(~ts ,既 )(~)()( tsjtstz  () 构造虚部双 )(~ts 的最简单的方法是用原实信号是 s(t)去激励一滤波器，用输出作虚部。 不妨令滤波器的冲激响 应为 h(t)，则 ,)()()()()(~  dhtsthtsts   () 7 既复信号可表示为 ),()()()( thtjststz  （ ） 式中  表示函数的卷积。 对上式两边作 Fourier 变换，则得频谱表达式为 )].(1)[()()()()( fHfSfHfjSfSfZ  （ ） 对于窄带信号而言，常保留该信号频谱的正频率部分，而剔除负频率部分 (为使信号总能量不变，需要将正频率的频谱幅值加倍 )。 这意味着复信号 (z)t的频谱应该具有下列形式 ： 0,00),(0),(2)(fffSffSfZ （ ） 比较式 ()和式 ()容易看出，只要选择滤波器的传递函数满足下式即可 ： 0,0,00,)(fjffjfH （ ） =j sgn(f) 式中 0,10,00,1)s g n (ffff （ ） 为符号函数。 再进行 Fourier 反变换可获得滤波器的冲激响应为 .12)()( tdffjefHth t    （ ） 8 将式 ()代入式 ()，又有 ttstsHts 1)()]([)(~  （ ）  dts  )(1 式中 r 为实的变量，而 H[s(t)]表示实信号 s(t)的 Hilbert 变换。 如果已知 Hlibert 变换 )(~ts ， 则也可由它恢复原实信号 ： .)(~1)(~1)(  dtststts   （ ） 定义 (解析信号 )[1]与实信号 s(t)对应的解析信号 (analysis signal)sA(t)定义为 sA(t)=s(t)+jH[s(t)]，且了 )(~rs =H[s(t)]是 s(t)的 Hilbert 变换。 Hilbert 变换具有以 下性质 性质 1 信号 (s)t 通过 Hilbert 变换后，信号频谱的幅度不发生变化。 性质 2 )].(~[)( tsHts  性质 3 若 x(t)， x1(t)， x2(t)的 Hilbert 变换分别为牙 ),(~),(~),(~ 21 txtxtx 且 x(t)=xl(t) x2(t)，则 ).(~)()()()(~)(~ 21121 txtxtxtxtxtx  性质 4 )]}([{)]([)],([)( 22 tsHHtsHtsHts  其中. 瞬时频率与群延迟 信号的重要特性包括 : 带宽。 m inm ax ffB  存在于带宽 B 内的所有频率 (从最低频率 fmin 到最高频率 fmax)。 在这些频率处的信号相对幅度 ； 所有频率发生的时间 ； 信号的持续时间 T，简称时宽。 9 所有实际的信号都有一个起点和一个终点。 时宽 T 在时域的作用和带宽B 在频域的作用相同。 对于 0tT，我们希望知道信号的能量是如何分布的，这就是信号的所谓频率特性。 “频率 ”是我们在工程和物理学中最常用的技术术语之一。 在平稳信号的分析与处理中，当我们提到频率时，指的是 Fuorier 变 换的参数一一圆频率 f或角频率  ，它们与时间无关。 然而，对于非平稳信号而言， Fourier 频率不再是合适的物理量。 这里有两个原因 ： （ 1） 非平稳信号不再简单地用 Fourier 变换作分析工具 ； （ 2） 非平稳信号的频率是随时间变化的。 因此，我们需要使用另一个频率概念，它就是瞬时频率。 从物理学的角度，信号可分为单分量和多分量信号两大类。 单分量信号在任意时刻只有一 个频率，该频率称为信号的瞬时频率。 多分量信号则在某些时刻具有多个不同的瞬时频率。 瞬时频率最早是由 carosn 与 Fry[15]和Gabor[16]分别定义的，而且两种定义不同。 后来， ville[17]统一了这两种不同的定义，将信号 )](c o s [)()( ttats  的瞬时频率定义为 )]([ ar g21)( tzdtdtfi  , () 式中，下标 i 代表瞬时 (instantaneous)，而 z(t)是实信号 s(t)的解析信号。 即是说瞬时频率定义为解析信号 z(t)的相位的导数。 式 ()有很明确的物理意义 ： 解析信号 z(t)表示复平面的一向量，而瞬时频率则表示该向量幅角的转速(以单位时间转动多少周计，如以弧度为单位，则应乘以 2 )。 Vine 进一步注意到 :由于瞬时频率是时变的 ， 所以应该存在有与瞬时频率相对应的瞬时谱，并且该瞬时谱的平均频率即为瞬时频率。 10 令 E 代表信号 z(t)的总能量，即    EdftZdttztz 222 )()()( () 因此，归一化的函数 Etz /)( 2 和 EtZ /)( 2 ，加即可分别定义成信号 ： z(t)在时域和频率的能量密度函数。 此时，便可以使用概率论中的矩的概念来量化描述信号的性能，使用一阶矩定义信号谱的平均频率 ：   dffZdffZfdffZfEf 22)()()(1 2 () 和瞬时频率的时间平均 .)( )()()()(1 222  dttzdttztfdftztfEf () 文献 [l7]中， Ville 证明了 :信号谱的平均频率等于瞬时频率的时间平均，即iff。 与时域信号 z(t)对应的瞬时物理量为瞬时频率，而与频率信号 Z(f)对应的瞬时物理量称为群延迟 )(fg。 群延迟表示频谱 Z(f)中频率为 f 的各个分量的延迟 ,定义为 ： )],(ar g [21)( fZdfdfg   () 式中 argZ[(f)] 为 信 号 z(t) 的 相 位 谱。 若 )()()( fjefAfZ  ，则)()](arg[ ffZ 。 和瞬时频率一样，群延迟也有自己的物理解释。 如果信号 为线性相位，且其初始相位为零，则信号作不失真的延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率，即式 ()。 虽然一般信号并不具有线性相位特性，但某一频率附 11 近很窄的频带内的相位特性仍然可以近似看成是线性的，所以用其相位特性的斜率作这些分量的群延迟是合理的。 本 文的主要工作 本章主要讲的是 HilberHuang 的发展史，以及和 Fourier 变换的关系，实际中遇到的信号往往都是非平稳信号。 非平稳信号的分析是目前信号分析领域中的一个热门课题。 虽然 Kalmna 滤波、 RLS 算法等自适应滤波也适合于非平稳信号 的处理，但只限于慢时变信号的跟踪，并不能得到时变信号的统计量 (如功率谱等 )等结果。 换言之，这些信号处理方法不能满足非平稳信号分析的特殊要求。 因此，寻找一种能使信号在时域和频域上同时局部化的时频分析法一直是信号分析所期待的。 我们希望当分析非线性、非平稳信号时，不仅能获知信号的频率内容，还能获知其频率内容随时间的变化规律。 这便是时频分析所要解决的问题。 12 第 2 章 Hilbert 一 Huang 变换的基本理论 概述 Hilbert－ Huang 变换 (Hilbert－ Huang Transform， HHT)是 1998 年 Huang等人提出的一种新的信号分析理论，其提出了固有模态函数 (Intrinsic Mode Function， IMF)并引入了经验模态分解方法 (Empircal Mode Deposition ，EMD)，特别适用于分析现实生活中普遍存在的大量频率随时间变化的非线性、非平稳信号 []。 对于一个非平稳的数据信号来讲， Hilbert 变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。 而经 EMD 分解得到的各 IMF 分量都是平稳的，因此基于这些 IMF 分量。