本科毕业论文-正定矩阵的性质及推广(编辑修改稿)

本科毕业论文-正定矩阵的性质及推广(编辑修改稿)内容摘要：

in ，那么  1 , 2 , , 0ki in ， 即 kA 的特征值都大于 0，所以  kAk是 正 整 数 是正定矩阵 . 4 正定矩阵的应用  证明不等式 实对称矩阵 A 称为正定矩阵，是指如果实二次型 TXAX 正定，  12, , , TnX x x x， 而二次型 TXAX 正定是指对任意  0 0 00 1 2, , ,TnX x x x 0 ，恒有 00TX AX  0 ，所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式 . 例 求证 44xy xz  2 2 25 6 4x y z x y z、 、 为 不 全 为 零 的 实 数. 证明 设二次型 f  ,xyz = 2 2 25 6 4x y z   +44xy xz ，则 f 的矩阵 A= 5 2 22 6 02 0 4， A 的各阶顺序主子式 11a =5 0 ， 5226=26 0 ， 5 2 22 6 02 0 4=80 0 所以 A 是负定 矩阵，则 f 0 ，即 44xy xz  2 2 25 6 4x y z. 求函数的极值 定义  假定  ,f xy 具有二阶连续偏导数，并记         0000 x x x yx x x yfy x y yy x y y Pfff P f PHP fff P f P  , 它称为 f 在 0P 的黑赛  Hesse 矩阵 . 定理  设二元函数 f 在点  0 0 0,P x y 的某邻 域  0P 内 具有二阶连续偏导数，且 0P 是 f 的稳定点 .则当  0fHP是正定矩阵时， f 在 0P 取得极小值；当  0fHP是负定矩阵时， f 在 0P 取得极大值；当  0fHP是不定矩阵时， f 在 0P 不取极值 . 洛阳师范学院本科毕业论文 10 例 求函数   22,2f x y x xy y x y    的极值点 . 解 由方程组 2 2 02 1 0xyf x yf x y         得 f 的稳定点为  0 1,0P ，  0xxfP=2，  0 1xyfP ，  0 1yxfP ，  0 2yyfP ，那么         000 2112x x x yf y x y yf P f PHP f P f P  ， 是正定矩阵，所以  0 1,0P 是 f 的极小值点，  1,0 1f  . 多元函数的情形： 定义 假设  12, , , nf x x x 具有二阶连续偏导数，并记                 1 1 1 2 12 1 2 2 2120 0 00 0 000 0 0nnn n n nx x x x x xx x x x x xfx x x x x xf P f P f Pf P f P f PHPf P f P f P， 它称为 f 在 0P 的黑赛  Hesse 矩阵 . 定理 设多元函数  12, , , nf x x x 在点  0 0 00 1 2, , , nP x x x的某邻域  0P 内具有二阶连续偏导数，且 0P 是 f 的稳定点  0 0fP在 点 的 一 阶 偏 导 数 全 为. 则当  0fHP是正定矩阵时， f 在 0P 取得极小值；当  0fHP是负定矩阵时， f 在 0P 取得极大值；当  0fHP是不定矩阵时， f 在 0P 不取极值 . 例 求函数   321232231321 212, xxxxxxxxxf  的极值 . 解 由方程组 02201220123331222211xxfxxxfxxxf 洛阳师范学院本科毕业论文 11 得 f 的稳定点为  1,0,01 A ，  1,144,242 A ，又 f 的二阶偏导数为1212 6xxf ，12212  xx f ， 2222 xf ， 0322  xxf ， 2232 xf ， 0312 xxf . 所以  200021201201AH f， 其顺序主子式分别为 0， 0144212 120 ， 02 8 820002120120 ，所以  1AHf 是不定矩阵， f 在 1A 点处不取极值 .  20002120121 4 42AH f ， 其顺序主子式分别为 0144 ， 0144212 12144 ， 02 8 820002120121 4 4 ，所以  2AHf是正定矩阵，由定理 可知， f 在 2A 点处取极小值，极小值为   69131,144,24 f . 多项式因式分解 定理  一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于 2且符号差为 0 ，或秩等于 1. 该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式 . 例 试判断下列多项式在 R上能否进行因式分解，若能，分解之 . 1   221 2 1 2 2 1, 2 2 3 1f x x x x x x     2   221 2 1 2 2 1 2, 3 2 4 1f x x x x x x x      解 1 令   2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3 3, , 2 2 3g x x x x x x x x x x    ，则  12,f x x =  12, ,1g x x ，只需洛阳师范学院本科毕业论文 12 考虑  1 2 3,g x x x 的秩和符号差， g 所对应的矩阵为31020 2 13 1120 ，所以  1 2 3,g x x x 的秩为 3，故  1 2 3,g x x x 不能分解 ,所以  12,f x x 不能分解 . 2 令   2 2 21 2 3 1。