广义系统研究(编辑修改稿)

广义系统研究(编辑修改稿)内容摘要：

测性，方法就是选择一个状态反馈矩阵 K 达到破坏系统可观性的目的。 当然，若在状态反馈系统中出现了零极点相消时系统的可观性也会发生改变。 定理 ： 输出反馈闭环系统是否可控或可观直接由被控系统决定，即被控系统是可控可观的为输出反馈系 统可控可观的充要条件。 输出反馈 基础理论 系统的另外一种反馈是输出反馈。 浅析原理：把比例环节作为系统的输出量变成输入量的媒介后重新作用于系统。 简单来说，即是将增益矩阵 H 加在系统的输出端和输入端之间，并且 H 为常数矩阵。 输出反馈易实现。 原因是此种反馈所需的输出量容易采集和分析，且大都具有实在的物理含义。 所以输出反馈易于使用。 图 系统输出反馈结构图 图 是多输入输出反馈系统，且为一个较为详细的输出反馈结构图。 但如果对于单输入输出的系统，当增益矩阵 H 对系统完成输出反馈后， 原来的传递函数 ()Gs就会变为 ( ) / (1 HG)Gs 。 对于多变线性系统而言，当增益矩阵 H 发生改变时，系统同样会发生改变。 本科毕业设计说明书（论文） 第 12 页 共 28 页 基本性质 输出反馈的性质： (1) 输出反馈作用无法改变系统的某些性能，能控性和能观性就在其中。 (2) 输出反馈所导致的闭环系统均能保持开环系统的能控性，但系统的能观测性可能发生改变。 (3) 输出反馈的一个突出特点是便于实现，但是其无 法更好的描绘系统的状态情况，以致于无法获得满意的系统性能 [12]。 本科毕业设计说明书（论文） 第 13 页 共 28 页 3 鲁棒稳定的充要条件 鲁棒是一个音译词， 表示物体或人的强韧程度。 所要研究的鲁棒性即是当系统在外界扰动下维持某些性能的特性。 所以系统的这种性质是其在非常规条件下运行的关键。 鲁棒性是系统的一个关键属性。 故研究如何设计一个控制器使保持预定的功能，并且此系统受到扰动时性能仍不变化。 这种控制叫做鲁棒控制。 同时需要给出鲁棒稳定的充要条件。 并且是反馈控制下的条件。 鲁棒稳定基础理论 广义系统和一般系统存在诸多的不 同。 这些广义系统的自身特点致使其有关的问题更为复杂。 其中包括鲁棒稳定问题。 研究广义系统稳定问题包含多个方面。 此处主要考虑其鲁棒稳定性。 而且也务必把其正则性和脉冲模存在性加入考虑范畴。 对于如下系统： (t)Ex Ax () 其中， (t) Rnx  为系统 的状态变量； , nnE A R 为实数矩阵， E 为奇异矩阵。 一般来说，对广义系统而言，渐进稳定和无脉冲是它的两个基本要求。 如下介绍两个广义系统稳定性判别的著名定理 [13]。 定理 ： 广义系统 ()是容许的充要条件是：对给任意确定的一个矩阵 0W ，必有解 V，满足如下方程： 0TTV A A V WE V V E   () 相对的： 定理 ： 系统 ()为容许的充要条件为：给定一个任意矩阵 0W ，必有解 V，符合如下不等式： 00TTV A A VE V V E () 式 ()和 ()皆是李雅普诺夫不等式。 状态反馈鲁棒稳定的充要条件 如下线性广义系统： 本科毕业设计说明书（论文） 第 14 页 共 28 页 ( t) ( t) ( t)y ( t) C x ( t)E x A x B u () 其中， t 代表时间变量，维数适中的状态、输出和输入向量分别是 x ， y ， u。 E ， A ，B ， C 分别是适维的实矩阵。 定义 ：广义系统 ()是正则的，如果 det(sE A) 不恒等于零。 定义 ：广 义系 统 () 叫做 无 脉冲 模。 如 果广 义 系统 () 是 正则 的 且d e g (det (sE A )) ra n k E成立。 定义 ：广义系统 ()是逐渐趋于稳定。 如果对于系统 ()的每一个解 (t)x 都有lim (t) 0t x 。 引理 ： 广义系统称为是稳定的。 如果广义系统是正则的，且 det(sE A) 0都在左半平面上。 即满足 Re (s) 0s 。 如果记 (n r)nR 为满足条件 0E 和 rank n r  的矩阵，则有： 引理 ：对于广义系统 ( ) (t)Ex t Ax 无脉冲模。 且是稳定正则的。 则存在并且只存在矩阵 P 使得： 0TTEP PE和 0TTAP PA； 引理 ：以下三个命题等价： (1) 广义系统 ( ) A (t)Ex t x 无脉冲模，且是正则且稳定的系统； (2) 存在矩阵 0X ， Y 满足 ( E X Y ) ( E X Y ) A 0T T T TA      ； (3) 存在矩阵 0X ， Y 满足 1( E X Y ) ( E X Y ) 0T T T TAA     [14]。 定理 ：广义系统是鲁棒稳定的充要条件是存在正定矩阵 0X 和矩阵 Y，使如下不等式： ( ) ( ) A Z B 0T T T T TA E X Y B Z E X Y        () 成立。 那么此充要条件达到了目的。 即使得系统鲁棒稳定。 证明：广义系统 ()是可镇定的充分必要条件存在控制器，使得相应的稳定闭环系统是正则和无脉冲模。 由引理 可得：存在矩阵 0X ， Y，满足： ( A B K ) ( ) ( ) ( ) 0T T T TE X Y E X Y A B K        () 本科毕业设计说明书（论文） 第 15 页 共 28 页 即： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T T T T T T T TA E X Y B K E X Y E X Y A E X Y B K            令 ()T T TZ K EX Y  即 ()T T TK Z EX Y   有 ()等价于 ()即充要条件得证。 输出反馈鲁棒稳定的充要条件 普及相关的引理。 引理 ：假设有矩阵 Q 和矩阵 P。 其中 Q、 P 皆为 矩阵， Q 是镇定的 ， P 为常数。 使系统 ()满足： ( ) ( )TTA t P P A t Q   () P 具有以下形式： 1230PP PP () 其中， 1 rrPR ， ()2 r n rPR ， ( ) ( )3 n r n rPR   且 1 0P , 3P 可逆。 那么 ()符合鲁棒稳定条件。 引理 ：设维数适当的矩阵 D ， E ， F ， ( ) 1Ft。 并且矩阵都是实数的。 那么对于任意 0 ，有： 1( ) ( )T T T T TD F t E E F t D D D E E   () 引理 ：若 M， N， nnPR 是给定的对称阵，满足 0M ， 0N ， 0P ，且 2( ) 4 ( ) ( ) 0T T Tx P x x M x x Nx () 对所有的 nnxR ， 0x 成立。 则存在常数 0 使得 1 0P M N   () 如果有输出反馈控制器加载于系统 ()， 可得出： ( ) ( )ut Fyt () 作用后构成的广义系统： ( ) ( ) ( )( ) ( )Ex t A BFC x ty t Cx t () 有矩阵 P 使得其满足如下不等式，使得闭环系统符合的条件： 本科毕业设计说明书（论文） 第 16 页 共 28 页 2 0T T T T T T TA P A P M M P P B B P       () 其中  ， 0。 且此是鲁棒稳定条件。 证明：充要性：对于闭环系统 ()，取 ( ) ( ) ( )TCA t A t B t F C () 于是，由引理 ，必存在 0 ， 0 ，有： ( ) ( )TTCCA t P P A t    ( ) ( ) ( ) ( )TA t B t F C P P A t B t F C    [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]T T T TA t B t F C P A t B t F C P M M P     2 1 1( ) ( )T T T T T T T T TA P P A P M M P P B B P B P F C B P F C            于是根据引理 可得闭环系统是鲁棒稳定的。 必要性：根据引理 可知存在矩阵 1Q 和 P。 且都为正定的，使得： 1( ) ( )TTCCA t P P A t Q   () 成立。 令 ( ) ( )TTZ A B F C P P A B F C   ，那么可知对每一个不是零 nxR ，可得到。