基于matlab的信号功率谱估计(编辑修改稿)

基于matlab的信号功率谱估计(编辑修改稿)内容摘要：

)(nh 的线性非时变系统时，其输出序列 )}({ ny 也是一平稳随机序列。 它的自相关函数为： )(kryy )()()( * krkhkh xx (37) )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy  (38) 若 )(nh 为实系统，则 )1()*1(* zHzH 。 令 )2e xp ()e xp ( fjjz   ，得到相应的功率谱表达： )()()( 2  xxyy PHP  或 )()()( 2 fPfHfP xxyy  ，上述关系对以后讨论谱估计问题是很有用的。  2/12/1 )()(21)0( dffPdPr yyyy 为输出过程 )}({ ny 的平均功率。 我们经常会遇到的一种过程是离散白噪声，它的自相关函数（ ACF）定义为： 南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） )()( 2 kkr xxx  ，其中 )(k 是离散冲激函数。 这就是说，各样本之间彼此是不相关的。 所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP    ， 这表明 它在各频率上是完全平坦的。 换句话说，白噪声的所有频率分量均具有相同的功率。 相关函数的估计 自相关函数的各态历经性 一般说来，严格各态历经过程允许我们用时间平均来代替系综平均（集合平均或统计平均），用时间平均作为广义平稳随机过程均值的估计。  MMn xM nxEnxM )}({)(121lim。 (39)  MMn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*121l i m (310) 我们实际 所能得到的随机序列的样本数总是有限的，由有限个样本通过某种运算求出的序列的均值和自相关函数统计特征值叫做它们的估计值。 下面讨论随机序列有限个样本的相关函数的估计问题。 设 }1,1,0),({  Nnnx 为实随机序列 )}({ nx 的一批样本，共有 N 个值。 有时简称之为长度为 N的随机序列 )(nx。 方法一：根据假定的自相关函数的各态历经性（或遍历性），可用下式估计它的自相关函数，即  10 )()(1)(ˆ kNnxx nxknxkNkr (311) ])()([1)](ˆ[ 10 kNnxx nxknxEkNkrE (312)     10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） 当 N 时， 0)}(ˆvar{ krxx ，因此 )(ˆ krxx 是相关函数 )(krxx 的无偏估计且是渐近一致的， 即当 k 为有限值时， )(ˆ krxx 是 )(krxx 的一致估计。 方法二：有限长度序列 }1,1,0),({  Nnnx 的相关函数 )(krxx 的另一种估计方法可表示为 :  10 )()(1)(ˆ kNnxx nxknxNkr （ 313） )()]()([1)](ˆ[ 10 krN kNnxknxENkrE xxkN nxx     (314) 可见，它是相关函数 )(krxx 的有偏估计。 但是，当 N ，估计值是渐近无偏的。 当 N 时， 0)}(ˆvar{ krxx ，即（ 31）式的 )(ˆ krxx 也是 )(krxx 的一致估计。 （ 315）式所定义的相关函数取傅立叶变换求功率谱估计时，在计算上有某些方便之处，以后的讨论中，如不作特别申明，将采用这种有偏估计表示式求相关函数的估计式。 功率谱密度的另一个定义 : 可以证明 ，功率谱密度（ PSD）的一个近似等效的定义是 })2(e x p)(121{lim)( 2fnjnxMEfP MMnMxx   （ 315） 上式定义的 PSD 与维纳一辛钦定理   k xxxx fkjkrfP )2e x p ()()(  （ 316） 是等效的。 由（ 315）式和由（ 316）式维纳一辛钦定理给出的 PSD 的等效定义将作为经典谱估计方法的基础。 南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） 周期图法 周期图法的定义 周期图法，它是把随机 序列 x(n)的 N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算 x(n)的离散傅立叶变换，得 X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作为序列 x(n)真实功率谱的估计。 周期图谱估计定义为： 210 )2e x p ()(1)(ˆ  NnPER fnjnxNfP  可以证明，周期图等于估计出的自相关序列的傅里叶变换，或 )](ˆ[ fPE PER  1)1( )2e x p ()(ˆ)(ˆ NNk xxP ER fkjkrfP  其中 )(ˆ krxx 是有偏自相关函数的估计值，定义为 :  kNnxx knxnxNkr10 )()(1)(ˆ 周期图的性能 周期图的期望值是 : )](ˆ[ fPE PER ℱ   2/1 2/1 )()()}()({  dPfWkrkw xxBxxB （ 317） 式中 )(fWB 是 Bartlett 窗（三角形窗）的傅里叶变换。 由式（ 34）可知周期图的均值是真实 PSD 和 Bartlett 窗傅里叶变换的卷积，在平均意义上得到真实功率谱密度（ PSD）的平滑形式。 因此对有限记录数据，周期图一般有偏的，但是当 N 时，它是无偏的。 )()](ˆ[lim fPfPExxP E RN 这是由于 )(fWB 收敛到狄拉克  函数。 对于高斯白噪声的特殊情况， 22 )(),()( xxxxxx fPkkr   ，结果为 : )()](ˆ[ 2 fPfPE xxxP E R   对于白噪声情况，即使有限记录数据，周期图也是无偏的。 对于白高斯过程， )()](ˆ[ 2 fPfPE xxxP E R  ，方差 )}(ˆvar{ fPPER ])2s in2s in(1)[( 22 fN NffP xx  南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） 对 任 何 非 白 过 程 ， 只 要 记 录 数 据 足 够长 , ])2s in2s in(1)[()](ˆv ar [ 22 fN NffPfP xxPER  对于不靠近 0或 21 的频率，且 N 时，上式近似地退化为： )()](ˆv a r [ 2 fPfP xxPER  可以看出，方差与数据长度 N 无关，即方差不随 N 的增大而减小至零。 由此可得出一个重要的看 法：周期图估计器是不可靠的，因为标准差和均值一样大，因而周期图不是一致估计而其均值近似地等于要估计的量值。 上述论证表明，我们不能寄希望于直接用周期图方法获得良好的谱估计，必须采用适当的修正措施减小估计方差，才能使之成为一种实用的方法。 周期图法改进措施 加窗周期图 周期图法只用了 N 个样本，这可以看作是用一长度为 N 的矩形窗函数与原来无限长的序列相乘的结果，我们知道，时域中两函数相乘对应于频域中它们的傅立叶变换的卷积。 由此可以想到，当用周期图方法作谱估计时，它的谱分辨率约与 N 成反 比，且和信号本身的特征，例如信噪比等无关。 此外，如果序列是由多个正弦波信号组成的，而各分量强度不等，则弱信号分量可能淹没在强信号谱的旁瓣中而无法发现。 这种所谓信号能量（向旁瓣）泄漏现象如果不设法消除，也将妨碍周期图谱估计法的应用。 因此提出了周期图的改进方法： 周期图改进的方法之一是将长度为 N 的序列 )(nx 乘以同一长度的数据窗)(nw。 数据加窗后的周期图谱估计值的数学期望值等于谱的真实值与窗谱函数的平方的卷积。 显然它不等于功率谱的真 实值，因而是有偏估计。 若序列为单频信号，则 )(fPxx 为  函数，这样，数据加窗后的谱估计值的均值与窗谱函数的平方形状相同，因此选用低旁瓣的数据窗可使得杂散响应减少。 但旁瓣的降低必然使主瓣加宽，而且降低了分辨率。 数据加窗后，周期图谱估计值的方差大于或近似等于谱估计值的平方，且不随数据长度的增大而减小到 0。 南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） 从以上的分析可知，数据加窗用于周期图谱估计可以降低谱估计值的旁瓣，但要降低谱估计的分辩率，而用数据加窗的办法 不能减小估计方差，因而无法降低分辨率。 平均周期图 平均周期图的思想：对一个随机变量进行观测，得到 L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将 L 个均值加起来求平均。 这样得到的均值，其方差将是用一组数据得到的均值的方差的 1/L。 为了改进周期图的统计特性，可以近似地用对一组周期图进行平均的方法完成期望运算。 假定在区间 10  Ln 上有 k 组独立记录数据，并且都是同一随机过程的现实。 平均周期图估计器定义为： 10)( )(ˆ1)(ˆ KmmP E RA V P E R fPKfP (318) 210)( )2e x p ()(1)(ˆ  Ln mmP E R fnjnxLfP  其中 )(ˆ )( fPmPER 是第 m 个数据组的周期图。 因为   2/1 2/1 )()()](ˆ[  dPfWfPE xxBA V P E R，所以方差将减少 K倍。 又因为 )](ˆv a r [1)](ˆv a r [ )( fPKfP mP E RA V P E R  ，所以谱估计器具有 L/1 样本的分辨率。 显然，为了获得最大分辨率， L将尽可能选得大一些或就选 1NL ，此时，平均周期图就成为标准周期图估计。 但有时为了减小方差，应该把 LNK / 选得大一些，或等效地把 L 取得小一些。 因为这两个目的不可能同时实现，所以必须调整 L在方差和偏差之间进行折衷。 自相关法 自相关法是先估计自相关函数，再进行傅里叶变换得到功率谱。 自相关函数的估计。 是 利用观测到的实随机序列 ，估计自相关函数的两种方法是：无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。 BT 法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法。 自相关法的理论基础是维纳 辛钦定理，即先由 估计出自相关函数 )(mr ，然南京邮电大学 通达学院 2020 届本科生毕业设计（论文） 后对 )(mr 求傅里叶变换得到 (n)的功率谱，因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法。 直接法和间接法的关系 由以下式子可 以得出：  10)(101010*2)()(1)()(1)()(1)(1)(NknkjNnnjNnkjNkjjjNenxkxNenxekxNeXeXNeXNI m=kn，则 k=n+m，得     1)1(1)1(10 )()()(1)( NNmmjNmjNNmmNnN emRemnxnxNI 可见周期图法就。