四元数矩阵方程drazin逆的行列式表示(编辑修改稿)

四元数矩阵方程drazin逆的行列式表示(编辑修改稿)内容摘要：

去掉第 i 行和第 j 列，我们就可以得到矩阵 的 s1 的 主子式，把它记作 . 设 , 且 . 这种情况 下，矩阵 M 的所有右列向量都是线性无关的。 它们相加得到的一维列向量 ,也是线性无关的。 因此，它们是矩阵 的基向量，第 i列向量是它的基向量的线性组合。 根据理论 得出，当满足 和 的条件时 ，. 如果让 , 且 .，在矩阵 M 和 中有 p 个基向量。 然后根据理论 和 ，我们同样可以得出 .的结论。 因此对于所有的情况 ，当满足 和 的条件下 ， 我们都能够得出.即如果 ， 则 而且当 时， 因此，当 时 ， 通过计算矩阵（ 14）的余子式的值，我们可以得到： 因此， ， . 于是我们就可以计算出矩阵的行列式表示。 推论 如果 , 为 Hermitian 矩阵 ， 则群逆 中的各项行列表示如下 ： . 证明 .根据理论 ，当 时，则可以得出该等式。 推论 , 为任意矩阵 ， 则 证明 .假设 ,对于任意 我们可以得到 同样的，我们也可以得到矩阵 Drazin 逆。 对于任意矩阵的 Drazin 逆的行列式表示 对于任意矩阵 这里我们不能采用之前对应于 Hermitian 矩阵的方法。 因为我们没有对于任意矩阵的特征值的理论。 所以在以下的理论中，我们采用了 MoorePenrose 广义逆的行列式表示方法进而探讨矩阵的Drazin 逆。 命题 ,则 . 理论 ,则矩阵 的 MoorePenrose 的逆 中各项行列的可以表示为 ： 其中 . 从而得出矩阵 Drazin 逆的表示为 ： 其中 我们用 表示 的第 s 列 ， 可以得出 ,且 矩阵 的 Drazin 逆 的各项行列可以表示为 ： 我们用 我们用 表示 的第 t 行 ， 可以得出,且 矩阵 的 Drazin 逆 的各项行列可以表示为 理论 , 则 Drazin 逆 的行列式表示为 上述形式 矩阵方程 Drazin 逆的求解 求逆矩阵时 ， 最经典的 方法之一便是运用克莱默法则求出行列式的值，然后求出逆矩阵。 这里，针对求 Drazin 逆，我们提出了类似于克莱默法则的一些求解方法。 矩阵方程 ， 其中 是已知的 ， 求未知矩阵.假定 易 知 （参见例 [19]）等式 (22)满足条件： 存在唯一解， . 矩阵的 Drazin 逆 记作 理论 都是 Hermitian 矩阵，且对于 ， 有,对于 ， 有 ,所以对于 Drazin 逆的解 我们可以得出 其中 分别表示其列向量和行向量 ，对于 , 和 分别表示矩阵 的第 i 行和第 j 列的向量。 证明 .对于 Drazin 逆的解 ， 易知 对于所有的 ， 根据理论 我们用 记作 ,其中 从而得出 即 假定 和 分别代表单位行向量和单位列向量，即除了第 s 项为 1 之外各项都为 0。 我们得到 ： 因此 对于 ,列向量 的第 t 项为 ， 将其代入 上述 式子 得： 因此 如果我们用 表示列向量 第 项的值 ,则 将其代入式 (31),我们得到 ： 因此 考虑到矩阵方程 ,其中 都是已知的 ， 求未知矩阵 .设 ,我们记 ,即令 ， 我们便得出以下结论。 推论 . 对于 ， 如果 ,那么根据式 (33),Drazin 逆的解 为： 其中 为 的第 j 列向量， 考虑矩阵方程 ,其中 都是已知的 ， 求未知矩阵 .设,我们记 ,即令 ， 我们便得出以下结论。 推论 . 对于 ， 如果 ,那么根据式 (35),Drazin逆的解 为： 其中 为 的第 i 行 向量， . 任意矩阵的 Drazin 逆 利用理论 ，推论 和 ， 对于任意矩阵 ， 存在矩阵 使我们能够得出以下结论。 记 理论 . 存在矩阵 ， 有 ,存在矩阵 ，有 ,所以对于 Drazin逆的解我们可以得出 其中对于所有的 有： 分别代表其列向量和行向量。 ，对于 , 和 分别表示矩阵 的第 i 行和第 j 列的向量。 推论 ， 如果 ,那么根据式 (33),Drazin 逆的解 为： 其中 为 的第 j 列向量， 推论 . 对于 ， 如果 ,那么根据式 (35),Drazin逆的解 为： 其中 为 的第 i 行 向量， . 在本章 ， 我们给出验证以上理论的结果。 1. 考虑矩阵方 程 ,其中 因此可以得出 ,且。