克莱姆法则的推广及其应用(编辑修改稿)

克莱姆法则的推广及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

）的任一解时这个解必为（ 4），即解是唯一的。 再证解的存在性，将（ 4）代入方程组（ 3）中的第一个方程的左端，再由 Laplace展开定理即引理 1得 DDMDMDDMDDM ssss /][ 11111111   DBcBcMBcBcMBcBcM sssssssss )]()()([ 111212112111111   DBMBMcBMBMcBMBMc sssssssss /)]()()([ 111121211121111111   121 ][ cDDcDcDc s   即（ 4）满足（ 3）的第一个方程 同理可证（ 4）也满足方程组（ 3）的其余各方程，故（ 4）是方程组（ 3）的一个解。 显然，当 1k 时， AM ，此时定理 2 为 推论 设向量方程组 nnnnnnnncxaxaxacxaxaxa221111212111 （ 5） 的系数行列式 0D ，则（ 5）有唯一解， DDxDDx nn  ,11  ，其中 ix 是数域 P 上的线性空间 V 的位置向量， ic 是 V 中的已知向量，),2,1(, 11 njBcBcDPa njnjjij  。 而， njjj BBB , 21  依次是 njj aa ,1  在 D 中的代数与子式。 毕业论文 第 4 章 介绍克莱姆法则的各种应用 克莱姆法则 若 一个 线性方程组的系数行列式 0D , 则 该 线性方程组有唯一解 ,其解为 ),2,1( njDDx jj  其 中 ),2,1( njD j  是把 D 中第 j 列元素 njjj aaa , 21  对应地换成常数项, 21 nbbb  而其余各列保持不变所得到的行列式 . 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根 上的 问题 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程，其一般形 式为 02  cbxax ； )0,( acba 常数， 定理 1 两个一元二次方程 0022221121 cxbxa cxbxa )0( )0(21 aa （ I） 仅有一个共根的充要条件是： 02211 ba ba 且 02211221122211  cb cbba baca ca 证明：令 yx2 ，方程（ 1）化为：  222111 cxbya cxbya （ II） 由克莱姆法则知（ 2）只仅有一个共根  毕业论文 022112  ba baDDDD yx 且 02211221122211  cb cbba baca ca 由上可得推论：若两个一元二次方程（ 1）和（ 2）仅有一个公共根，则这个公共根为： 22112211babacacax 且 221122112babacbcbx  同样根据克莱姆法则可得出一元二次方程（ 1）有两个公共根的充要条件。 定理 2 022112211  ca caba ba 或者 02211 ba ba 且 02211221122211  cb cbba baca ca 证明 令 yx2 的方程组 （ II），则方程（ 1），（ 2）有两个公共根   yx2方程组至少有两个解  0 DDD yx  022112211  ca caba ba ； 例 给出两个 方程 012 axx 和 02  axx ， a 取何值时，两个方程有相同的根，并求之。 解 由定理 1 ， 2 可知，两个方程至少有一个公共根  02211221122211  cb cbba baca ca  01 11111 112 aaaa 即 ： 0)2()1( 2  aa 解得： 2,1  aa。 当 1a 时，原方程变为 ： 012 xx 和 012 xx 它们有两个公共根： 毕业论文 ix 23212,1  当 2a 时 0311 21111 a ，两个方程仅有一个相同根： 1111111 aax。 例 若三个一元二次方程 000332322221121cxbxacxbxacxbxa 有公共根 试证 0333222111cbacbacba 证明 分两种情况证明： 1） 若方程（ 1），（ 2）仅有一个公共根，则由定理 1 ，推论，公共根为： 21112211babacacax 且 221122112babacbcbx  将它代入方程（ 3）得 03221122113221122113  cbabacacabbabacbcba  02211 ba ba ，上式两边同时乘以2211 ba ba 得 ： 毕业论文 0221322112211322113  babacbabacacabcb cba 即 ： 0333222111cbacbacba 2） 若方程（ 1），（ 2）有两个公共根，则由定理可知： 022112211  ca caba ba 从而 02211 cb cb  0221322112211322113  babacbabacacabcb cba 即 ： 0333222111cbacbacba 由上述可知：三个一元二次方程（ 1），（ 2），（ 3）若有公共根，则 0333222111cbacbacba 否则，若 0333222111cbacbacba ，则它们无公共根。 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式 克莱姆法则是解决方程个数与未知量个数相等且系数行列式不等于零的线性方毕业论文 程组的重要工具，但若能将其应用于某些不等式的证明，也可取得奇妙的效果。 命题 设 ,3,2,1,0 niai   求证 112131 232 1   n naaa aaaa aaaa a nnnn  等号当且仅当 naaa  21 时成立。 证明 令 nnnnnnxaaaaxaaaaxaaaa132121311132 视之为以 naaa , 21  为未知量，含有 n 个方程的线性方程组。 其系数行列式),1()1( 1   nD n 用 nxxx , 21  分别替换行列式 D 中的第 n,2,1  列得： ])1([)1(,],)1([)1(],)1([)1( 1121121111 nni innni inni in xnxDxnxDxnxD    根据克莱姆法则有： 1)1(,1)1(,1)1(11 2221 111   nxnxDDanxnxDDanxnxDDani ninnni ini i  故   12131 232 1 nnnn aaa aaaa aaaa a        )1( )1()1( )1()1( )1( 121 211 1 nxxnxnxxnxnxxnxnni nini ini i    )]1([11 121231132 nnx xxxx xxxx xxxn n nnn  1)]2()1([11  n nnnnnn 此处用了不等式 nnn qqqn qqq  2121  ，等号当且仅当 nqqq  21 时成立，毕业论文 命题得证。 在上述命题中，令 2n ，则的 2abba ，令 3n ，则得 23 ba cca bcb a。 推论 设 niRai ,2,1,   且 Mani i 1，则当 nMai  时，  ni ii aMa。