lyapunov稳定与镇定(编辑修改稿)

lyapunov稳定与镇定(编辑修改稿)内容摘要：

t 的符号特征判断平衡状态的稳定济南大学毕业 论文 11 性，不需要求解系统的状态方程。 李雅普诺夫稳定性定理 定理 设系统的状态方程是 • ƒ( , )X X t ，其平衡状态为  0ƒ(0, ) 0t t t。 如果存在一个具有连续的 一阶偏导数的标量函数  ,VXt ，满足条件： （ 1）  ,VXt 是正定； （ 2）  ,V Xt 是负定， 则系统在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。 如果对状态空间中所有非零初始状态 0()xt 满足上述条件，且当 X  时，有  ,V X t ，则系统在原点处的平衡状态是 大范围一致渐近稳定的。 以上定理可以作下述直观的理解，假设存在有定号的函数  1 2 3,V x x x （为了简便，们在这里设 3n ），其导数 0dVdt ，作曲面簇    1 2 3, , 1 .4 ,V x x x c 其中 c 是一个正的参数，在零到某个足够小的值之间变化。 曲面簇（ ）是封闭的，它们包围坐标原点并在 c 趋向于零时，  1 2 3,V x x x c 收敛于原点。 若12cc ，则曲面 1Vc 完全位于 2Vc 之内。 当满足  和  ,V X t 条件，也就是在等 V 曲面簇扩展到整个状态空间条件下，能满足在全局范围内，当t 时，  ,VXt 收敛到原点，便是系统具有大范围渐近稳定的条件。 例 已知给定系统的状态方程是 •1 2•2 12xxx x x    应用李雅普诺夫第二法分析上述系统平衡状态的稳定性。 解 由题意可得，给定线性系统的唯一平衡状态是状态平面原点 =0X。 选取具备正定性的二次型函数 济南大学毕业 论文 12     2 221 2 1 21 22V x x x x     为李雅普诺夫函数，则求得   2212()V X x x  是负定，而且当 X  时有 ,V X t ，所以按照李雅普诺夫稳定性定理 1 判定，上述系统在原点  0,0 处的平衡状态是大范围渐近稳定。 定理 设系统的状态方程为 • ƒ( , )X X t ，其平衡状态为  0ƒ(0, ) 0t t t。 如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数  ,VXt ，满足条件： （ 1）  ,VXt 是正定； （ 2）  ,V Xt 是负半定； （ 3）  • 00,V t X t t， ，对任意的 0t 和任意的 0 0X ，在 0tt 的条件下不恒等于零，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 因为  • ,V Xt 只是负半定而不是负定，所以典型轨迹可能和某个特定的曲面 • ,V X t c 相切，在切点上  • ,0V X t 。 又由于   • 00, , ,V t X t t 对任意的 0t 和任意的 0 0X 在 0tt 时不恒等于零，所以典型轨迹不是停留在切点上不动，而是随着时间推移继续向 原点靠近。 例 已知给定系统的状态方程是 1 22 12xxx x x    通过选取不同的李雅普诺夫函数分析给定系统平衡状态的稳定性。 解 已知给定系统的唯一平衡状态是状态平面原点 0X。 选取具备正定性的二次型函数作为李雅普诺夫函数，其对时间的导数为  • • • 2121 2 22 2 2 .V X x x x x x    由  •VX可知，当 1200xx， 时，则  • 0VX ，但是当 1200xx， 时，也可济南大学毕业 论文 13 以得出  • 0VX ，所以，  •VX是负半定的。 因此，需要进一步地分析当1200xx， 时  •VX是否恒等于零。 如果要求在 0tt 时 • 222Vx 恒等 于零，那么必须满足 2x 在 0tt 恒等于零，而 2x 恒等于零又要求满足 •2x 恒等于零。 但是从给定系统的状态方程 2 12x x x 来分析，在 0tt 时要求 • 2 200xx， 则意味着必须满足 1 0x。 因此给定系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 又因为当 X  时  VX ，所以给定系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 图   所示是本题所对应的等 V和典型轨迹。 从图中可以看出，在点 A 处 Xt 的运动轨迹与 V 圆  221 2 2V X x x c  相切，但是状态 X 仍然随着时间推移继续想原点运动，并没有在切点处停留下来 [15]。 图 1. 等 V 圆及典型轨迹 定理 已知系统的状态方程是 • ƒ( , ),X X t 0X 2X 3Vc 1X A 济南大学毕业 论文 14 其中  0ƒ(0, ) 0t t t。 若存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数  VX，满足条件： （ 1）  ,VXt 是正定； （ 2）  ,VXt 是负半定，但在原点外的某一点 X 处恒为零，则系统在原点处的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定。 那么在这种情况下，系统维处于一个稳定的等幅震荡状态上。 例 已知给定系统的状态方程是  1 22 10x kx kxx  试分析系统的平衡状态的稳定性。 解 由题意得， 120xx即原点为给定系统的平衡状态。 如果选取正定的标量函数   2212V X x kx 为李氏函数，则  • • •121 2 1 2 1 22 2 2 2 0 ,V X x x k x x k x x k x x     由上式可以得出，  •VX在任意的状态 X 上都能保持为零。 此时系统在 李亚普诺夫意义下是稳定的，但并不是渐近稳定的。 定理 已知系统的状态方程是 • ƒ( , ),X X t 其中  0ƒ(0, ) 0t t t。 若存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数  VX，满足条件： （ 1）  ,VXt 在原点附近的邻域内正定的； （ 2）  • ,V Xt 在同一邻域内也是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的。 济南大学毕业 论文 15 例 已知给定系统的状态方程是 1 22 12xxx x x    试分析系统平衡状态的稳定性。 解 由题意得， 120xx即原点为该系统的平衡状态。 如果选取正定的标量函数   2212V X x x 为李雅普诺夫函数，则    • • • 2121 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2 .V X x x x x x x x x x x       由上式可以得出，当 1200xx， 时有  • 0VX ，所以  •VX是正半定。 但是可以判定  •VX只有在 120xx时恒等于零，但是在其它 0X 的状态上  •VX均不恒为零。 因此给定系统的平衡状态是不稳定的。 应用李雅普诺夫第二法判别稳定性，需要注意选取的李氏函数是否恰当的问题。 若根据李雅普诺夫第二法判断系统是稳定的，那么系统一定是稳定的；但是如果判断系统是不稳定，则不能判 定系统一定是不稳定的。 遇到这种情况，可以尝试选取不同形式的李氏函数重新进行分析 [14]。 例如，如果为例 1 给出的系统 1 22 12xxx x x    选取正定标量函数   22122V X x x 为李雅普诺夫函数，则由选定的  VX可求得  • • • 2121 2 1 2 24 2 2 2 .V X x x x x x x x    在检验  •VX的定号性时，当 120xx时， 有  • 0VX ；当 120xx时则济南大学毕业 论文 16  • 0VX ，而当 210xx时则  • 0VX。 所以，  •VX为不定的。 这表明当初始状态 0X 超出一定范围时系统将不稳定。 但是在例 1 中分析得，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 所 以，因为李雅普诺夫函数选取得不同，可能得出完全不同的结论。 应用李雅普诺夫第二法分析线性系统的稳定性 李雅普诺夫第二法是分析线性系统稳定性的实用方法，对于线性定常系统、线性时变系统以及离散系统都可以给出相应的稳定判据。 下面将分别介绍线性定常系统、线性时变系统以及离散系统的李雅普诺夫稳定性分析。 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 设线性连续定常系统： •X AX 其中 X 是状态向量，为 nn 矩阵； A 为是系统矩阵，为 nn 常数矩阵。 线性定常系统在平衡状态 0eX 处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵 Q ，存在一个正定实对称矩阵 P ，使满足：   1 . 5TA P P A Q   且标量函数     1 . 6TV X X P X 就是系统的一个李氏函数。 通常情况下，判断  •VX的符号特征时，先指定一个正定的矩阵 Q ，然后检验满足等式 TA P PA Q  的 P 是否是正定的方法要方便的多。 特是选取 QI ，再由 TA P PA I  确定矩阵 P 的各个元素尤其方便，其中 I 是单位矩阵。 如果   TV X X QX 沿任意一条轨迹不恒等于零，那么 Q 也可选取正半定矩阵。 但矩阵 P 的正定性是必要条件。 济南大学毕业 论文 17 例 已知系统的状态方程是 1 22 12xxx x x    试分析系统平衡状态的稳定性。 解 根据给定的状态 方程求得系统矩阵为 01,11A  若选取 QI ，并且设矩阵 P 具有下面的对称形式，即 11 1212 22.ppP pp  则由 ,TA P PA Q   即 1 1 1 2 1 1 1 21 2 2 2 1 2 2 20 1 0 1 1 0 ,1 1 1 1 0 1p p p pp p p p                            求得 1211 12 2212 222102 2 1pp p ppp       由上面的方程组解出 1 1 1 2 2 23 2 1 2 1p p p  ，。 将计算结果代入矩阵 P ，得 3122.1 12P 因为 1 1 1 2111 2 2 23131220 1 0 ,124 12ppppp    ， 所以 P 为正定。 所以，给定系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 济南大学毕业 论文 18 例 Matlab 仿真程序如下： function dxdt = exam(t,x) dxdt = [ x(2)。 2*x(1)x(2)]。 输入上述程序代码后，将文件保存为“ ”，该函数是微分方程组函数。 tspan = [0 15]。 x0 = [0。 1]。 [t,x] = ode45(@exam,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。 r39。 ,39。 LineWidth39。 ,)。 hold on。 plot(t,x(:,2),39。 g.39。 ,39。 LineWidth39。 ,)。 axis([0 15 ]) legend(39。 x(1)39。 ,39。 x(2)39。 ) grid on title(39。 系统微分方程的数值解 39。 ) 图 系统微分方程的数值解 由图 可以看出系统微分方程的数值解由最初的震荡逐渐趋于稳定，所以给定系统是稳定的。 同样，如果按照式   选取李雅普诺夫函数  VX，即 济南大学毕业 论文 19      1 221 2 1 1 2 2231122 3 2 2 ,1 212xV X x x x x x xx    则由  VX求得    • 2212 0V X x x    为负定。 根据李雅普诺夫定理 1，给定系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。 线性时变系统的李雅普诺夫稳定性分析 设。