20xx年高考数学试题分类汇编——函数与导数三(编辑修改稿)

20xx年高考数学试题分类汇编——函数与导数三(编辑修改稿)内容摘要：

3 1 ,ppfxfx   因为    120, 0f x f x，所以    12f x f x 故    2f x f x = 23log 23px 因为    f a f b ，所以 231 log 233pabp   ，所以 1 2 3lo g 2 ,b p p a   即 1 2 3log 2a b p p    当  21,x p p 时，令    12f x f x ，则 231 log 233xppx   ，所以 1 2 3log 22ppx  ， 当 1 2 32 lo g 2, 2ppxp  时，    12f x f x ，所以    2f x f x = 23log 23xp 1 2 3 1lo g 2 ,2ppxp 时，    12f x f x ，所以    1f x f x = 13px fx在区间  ,ab 上的单调增区间的长度和 1 2 312lo g 22ppb p p   = 1 2 3l o g 22 2 2pp a b b abb     （ 2）当 21pp 32log 时 .     111113 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p   ，     2323lo g 2 22 lo g 2 23 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p    当  2,x p b ，   2 1 3lo g 21 023 3 1 ,ppfxfx   因为    120, 0f x f x，所以    12f x f x ， 故    2f x f x = 23log 23xp 当  1,x a p ，   1 2 3lo g 21 023 3 1 ,ppfxfx   因为    120, 0f x f x，所以    12f x f x 故    1f x f x = 13px 因为    f a f b ，所以 231 log 233bppa   ，所以 1 2 3log 2a b p p    当  12,x p p 时，令    12f x f x ，则 231 log 233pxxp   ，所以 1 2 3log 22ppx  ， 当 1 2 31 lo g 2, 2ppxp  时，    12f x f x ，所以    1f x f x = 13xp 1 2 3 1lo g 2 ,2ppxp 时，    12f x f x ，所以    2f x f x = 23log 23px fx在区间  ,ab 上的单调增区间的长度和 1 2 321lo g 22ppb p p   = 1 2 3l o g 22 2 2pp a b b abb     综上得 fx在区间  ,ab 上的单调增区间的长度和为 2ba 10.（江西卷 22） ． （本小题满分 14 分） 已知函数   118axfx axxa   ，  0x,  ． 1 ．当 8a 时，求 fx的单调区间； 2 ．对任意正数 a ，证明：  12fx． 解： 1 、当 8a 时，   1131 xfx x，求得   3121 xfx xx  ， 于是当 (0,1]x 时，   0fx  ；而当 [1, )x  时，   0fx  ． 即 ()fx在 (0,1] 中单调递增，而在 [1, ) 中单调递减． （ 2） .对任意给定的 0a ， 0x ，由 1 1 1( ) 1 1 81fx xaax   ， 若令 8b ax ，则 8abx … ① ，而   1 1 11 1 1fx x a b     … ② （一）、先证   1fx ； 因为 1111 xx  ， 1111 aa  ， 1111 bb  ， 又由 42 2 2 2 4 2 8a b x a bx abx       ，得 6a b x   ． 所以   1 1 1 1 1 11 1 11 1 1fx x a bx a b         3 2 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b         9 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b        1 ( ) ( ) 1(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b x a b xx a b        ． （二）、再证   2fx ；由 ① 、 ② 式中关于 ,xab 的对称性，不妨设 x a b ．则 02b （ ⅰ ）、当 7ab ，则 5a ，所以 5xa，因 为 1 11 b， 1 1 2 11 1 1 5xa    ，此时   1 1 1 21 1 1fx x a b     ． （ ⅱ ）、当 7ab … ③ ，由 ① 得 , 8x ab ， 181 ababx  ， 因为 2 221 1 [ 1 ]1 1 4 ( 1 ) 2 ( 1 )b b bb b b b        所以 1 12(1 )1 b bb   … ④ 同理得 1 12 (1 )1 a aa   … ⑤ ，于是   1222 1 1 8a b a bfx a b a b      … ⑥ 今证明 21 1 8a b a ba b a b   … ⑦ , 因为 21 1 (1 ) (1 )a b a ba b a b    ， 只要证 (1 ) (1 ) 8a b a ba b a b  ，即 8 (1 )(1 )ab a b   ，也即 7ab ，据 ③ ，此为显然． 因此 ⑦ 得证．故由 ⑥ 得 ( ) 2fx ． 综上所述，对任何正数 a,x ，皆有  12fx． 11.（湖北卷 20） .(本小题满分 12 分 ) 水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 124( 14 40) 50 , 0 10 ,()4( 10) ( 3 41 ) 50 , 10 12.xt t e tVtt t t             （Ⅰ）该水库的蓄求量小于 50的时期称为枯水期 .以 1i t i   表示第 1 月份（ 1,2, ,12i  ） ,同一年内哪几个月份是枯水期。 （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取  计算） . 解： 水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时 间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 124( 14 40) 50 , 0 10 ,()4( 10) ( 3 41 ) 50 , 10 12.xt t e tVtt t t             （Ⅰ）该水库的蓄求量小于 50的时期称为枯水期 .以 1i t i   表示第 1 月份（ 1,2, ,12i  ） ,同一年内哪几个月份是枯水期。 （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取  计算） . 12.（湖南卷 21） （本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ln2(1+x) 21xx . (I) 求函数 ()fx的单调区间。 （Ⅱ）若不等式 1(1 )aa en 对任意的 N*n 都成立（其中 e 是自然对数的底数） . 求  的最大值 . 解 : （Ⅰ）函数 ()fx的定义域是 ( 1, )  ， 22222 l n ( 1 ) 2 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2( ) .1 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x xfx x x x           设 2( ) 2( 1 ) l n( 1 ) 2 ,g x x x x x    则 ( ) 2 ln( 1 ) .g x x x    令 ( ) 2 ln( 1 ) 2 ,h x x x  则 22( ) 2 .11 xhx xx    当 10x   时， ( ) 0,hx  ()hx 在（ 1， 0）上为增函数， 当 x＞ 0 时， ( ) 0,hx  ()hx 在 (0, ) 上为减函数 . 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x ， 函数 g(x)在 ( 1, )  上为减函数 . 于是当 10x   时， ( ) (0) 0,g x g 当 x＞ 0 时， ( ) (0) x g 所以，当 10x   时， ( ) 0,fx  ()fx在（ 1， 0）上为增函数 . 当 x＞ 0 时， ( ) 0,fx  ()fx在 (0, ) 上为减函数 . 故函 数 ()fx的单调递增区间为（ 1， 0），单调递减区间为 (0, ) . （Ⅱ）不等式 1(1 )na en 等价于不等式 1( ) ln(1 ) n  由 111n知， 1 .1ln(1 )ann 设  11( ) , 0 , 1 ,ln (1 )G x xxx  则 222 2 2 21 1 ( 1 ) l。