20xx年高考数学试题分类汇编－－圆锥曲线(编辑修改稿)

20xx年高考数学试题分类汇编－－圆锥曲线(编辑修改稿)内容摘要：

2 则有即 ,22,2  OE FS .22,0221 322 242 2   kkkk k 解得 ④ 综合 ②、 ④知，直线 l 的斜率的取值范围为 [ 2 ， 1]∪（ 1， 1）∪（ 1， 2 ） . 6.（湖南卷 20） .（本小题满分 13 分） 若 A、 B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦” .已知当 x2 时，点 P（ x,0） 存在无穷多条“相关弦” .给定 x02. （ I）证明：点 P（ x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值。 若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，请说明理由 . 解 : （ I）设 AB 为点 P（ x0,0）的任意一条“相关弦”，且点 A、 B 的坐标分别是 （ x1,y1）、（ x2,y2）（ x1 x2） ,则 y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（ y1+y2）（ y1y2） =4（ x1x2） .因为 x1 x2,所以 y1+y2 0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（ xm, ym） ,则 k= 121 2 1 242myyx x y y y .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 ( ).2mmmyy y x x    又点 P（ x0,0）在直线 l 上 ，所以 0( ).2mmmyy x x    而 0,my  于是 0 故点 P（ x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x02. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知，弦 AB所在直线的方程是 ()mmy y k x x   ，代入 2 4yx 中， 整理得 2 2 22 [ ( ) 2 ] ( ) 0 .m m m mk x k y k x x y k x      （） 则 12xx、 是方程（）的两个实根，且 212 2().mmy kxxx k 设点 P 的“相关弦” AB 的弦长为 l，则 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )l x x y y k x x       14 2 2 2 21 2 1 2 1 222222 2 4 22 2 2 2 2 200( 1 ) [ ( ) 4 ] 4 ( 1 ) ( )2()44 ( 1 ) [ ]4( 4 ) ( 4 ) 4 ( 1 ) 1 64 ( 1 ) [ 2 ( 1 ) ] 4 ( 1 ) [ 2 ( 3 ) ] .mmmmmmmm m m m m m mm m m mk x x x x k x x xyxyxyyy x y y y x xx y x x y x                         因为 0 2my 4xm=4(xm2) =4x08,于是设 t= 2my ,则 t(0,4x08). 记 l2=g(t)=[t2(x03)]2+4(x01)2. 若 x03,则 2(x03) (0, 4x08),所以当 t=2(x03),即 2my =2(x03)时 , l 有最大值 2(x01). 若 2x03,则 2(x03) 0,g(t)在区间（ 0， 4 x08）上是减函数， 所以 0l216(x02),l 不存在最大值 . 综上所述， 当 x03 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为 2（ x01）；当 2 x0 3 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值 . 7.（江西卷 21） ． （本小题满分 12 分） 设点 00( , )Px y 在直线 ( , 0 1)x m y m m    上，过点 P 作双曲线 221xy的两条切线 PA PB、 ，切点为 A、 B ，定点 1( ,0)M m . （ 1）求证：三点 A M B、 、 共线。 （ 2）过点 A 作直线 0xy的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程 . 证明：（ 1）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由已知得到 120yy ，且 22111xy， 221xy， 设切线 PA 的方程为： 11()y y k x x   由 1122()1y y k x xxy    得 2 2 21 1 1 1( 1 ) 2 ( ) ( ) 1 0k x k y k x x y k x       从而 2 2 2 2 21 1 1 14 ( ) 4( 1 ) ( ) 4( 1 ) 0k y k x k y k x k        ,解得 11xk y xOAByP MxmN 15 因此 PA 的方程为： 111y y x x 同理 PB 的方程为： 221y y x x 又 0( , )Pmy 在 PA PB、 上，所以 1 0 1 1y y mx， 2 0 2 1y y mx 即点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y都在直线 0 1y y mx上 又 1( ,0)Mm也在直线 0 1y y mx上 ,所以三点 A M B、 、 共线 （ 2）垂线 AN 的 方程为： 11y y x x   ， 由 110y y x xxy    得垂足 1 1 1 1( , )22x y x yN ， 设重心 ( , )Gxy 所以11111111()321 ( 0 )32xyxxmxyyy       解得1139341934xymxyxmy    由 22111xy 可得 11( 3 3 ) ( 3 3 ) 2x y x ymm    即 2212()39xym  为重心 G 所在曲线方程 8.（辽宁卷 20） ．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0 3)， ， (0 3)， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为C ，直线 1y kx与 C 交于 A， B 两点． （ Ⅰ ）写出 C 的方程； （ Ⅱ ）若 OA  OB ，求 k 的值； （ Ⅲ ）若点 A 在第一象限，证明：当 k0 时，恒有 |OA ||OB |． 20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分 12 分． 解： （Ⅰ）设 P（ x， y），由 椭圆 定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， ， ， 为焦点，长半轴为 2 的椭圆．它的短半轴 222 ( 3 ) 1b   ， 16 故曲线 C的方程为 22 14yx ． 3 分 （Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐标满足 22 141.yxy kx ， 消去 y 并整理得 22( 4 ) 2 3 0k x k x   ， 故1 2 1 2222344kx x x xkk    ，． 5 分 若 OA OB ，即 1 2 1 2 0x x y y． 而 21 2 1 2 1 2( ) 1y y k x x k x x   ， 于是 221 2 1 2 2223 3 2 10444kkx x y y kkk      ， 化简得 24 1 0k   ，所以 12k ． 8 分 （Ⅲ） 22 2 2 2 21 1 2 2()O A O B x y x y     2 2 2 21 2 1 2( ) 4( 1 1 )x x x x      1 2 1 23( )( )x x x x    1226 ( )4k x xk  ． 因为 A 在第一象限，故 1 0x ．由12 23 4xx k 知 2 0x ，从而 120xx．又 0k ， 故 220OA OB， 即在题设条件下，恒有 OA OB ． 12 分 9.（全国一 21） ．（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 12ll， ，经过右焦点 F 垂直于 1l的直线分别交 12ll， 于 AB， 两点．已知 OA AB OB、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． （ Ⅰ ）求双曲线的离心率； （ Ⅱ ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程． 17 解：（ Ⅰ ）设 OA m d， AB m ， OB m d 由 勾股定理 可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d    得： 14dm， tan bAOFa， 4ta n ta n 23ABA O B A O F OA     由倍角公式 22 431baba，解得 12ba,则离心率 52e ． （ Ⅱ ）过 F 直线方程为 ()ay x cb ,与双曲线方程 221xyab联立 将 2ab ， 5cb 代入，化简有 221 5 8 5 2 1 04 xxbb   22 21 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4aax x x。