初中“希望杯”代数试题的研究毕业论文(编辑修改稿)

初中“希望杯”代数试题的研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

_____.【 选自第 23届 初 二 希望杯试题 】 由 条件 可知 a,b,c是 联系的三个 递增 的自然数。 且 abc= a==3,c=的答案为 1/8. 还有 例 a， b是实数，且 abba  11 11 1 ，则 baab  1111 的值时 【 选自第 24届 初 二 希望杯试题 】 重点 是知道 ba=b+1(a+1)。 然后 abba  11 11 1 两边 都乘以 【 b+1(a+1)】。 就可以算出来了。 最后 看 例 自然数 a,b,c满足 2 2 2 42 4 4 12a b c a b c     和 2 20aa  。 则 代数式 1 1 1abc 的 值是 【 选自第 22届 初 二 希望杯试题 】      2 2 22 2 2 4 2 4 4 1 2 2 2 6 4 4 3 6 4 2 = 2a b c a b c a b c              而    2 2 0 a 2 1 0 2a a a a       。 所以 a=== 为 1。 对于该种 提醒的研究和扩展，发现虽然该种题型表面上看应该是最难的。 实际 上 出的时候都不难，所以 在 预测上也偏于不会太难的题目作为 扩展。 例 ： 1. 已知 x+3y+5z=0,2x+4y+7z= 2 2 22 2 2352 4 7x y zx y z 只要 用一个未知数代替其他两个未知数就可以了。 比如 用 联立 两个方程，用 z 把 x和 y 表示 出来。 初中“希望杯”代数试题的研究 8 最 值 问题 的 分类 最 值 问题 的 出现 在 1 试 当中可以 说 是 涉及面 也比较多比较广的。 它 涉及 各个方面，各个题型 ， 内容 丰富。 涉及到 的 有 ： 直接算 极值，也有跟 质数 ， 倍约数 ，绝对值，不等式等等 知识点 相结合。 在 分类中也可以尝试分为 离散型 和连续型的。 最值问题 例 20xx888abc 能被 11整除，则三位数 abc 最大是 ______________． 要 做这道题 ， 就要 知道 能被 11整除 的数的特征是奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和的差是 11的 整数倍。 所以 2+1+8+8+b(8+a+c)= 11+bac是 11的 倍数。 所以bac是 11的 倍数。 要 让 abc 最大。 那么 a 要 取 b 只能 取 c= 结果就是 990 例 完全平方数 A是 11 个 连续整数的平方和，则 A的 最小值是 【 选自第 22届 初 二 希望杯试题 】 把 这 11 个 数设为 x5,x4…,x+4,x+5. 那么 11 个 数的和为 是一个数的完全平方。 显然 是 11^=121 若要 对这题做 一个 推广的话：可以出： 设 完全平方数 A是 a个 连续整数的平方和，则 A的 最小值是 推广 ： 明显 的当 a是 奇数的时候 A就是 a的平方。 因为这 a个 数有 一个 中间值 为 [a/2]+1.所以 这样以这个数为 x， 其余的数 为 x+1,x1,x+2,x2„x+[a/2],x [a/2].全部 加起来就等于 A=a的 平方。 例 20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是 ． 【 选自第 24届 初 二 希望杯试题 】 明显 的 14=2* 7是 除不尽的。 所以商的最小值只能是 7 或 比 7大。 而 18=3*3*2。 18能 除 尽或说能被除尽的话 ， 另一组必须要有 12 和 只有 12 和 6能分解 出 2 个 3 的 质因数。 而 20 和 10也 必须分开进入 2组。 因为 只有 他们 有 共同的质因数 使商最小 ，那就 把20 跟 18 放 一组 ， 12, 一组。 明显 后一组是前一组的 2 倍。 所以正好把 14放在 前一组。 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 9 那 相除 就剩下 7了。 在剩下的 2,4,8,16中， 很明显 的 2*16=4* 第一组的数是 2,14,16,18,20.第二组 是 4,6,8,10, 第一组除以第二组为 7. 例 4 If the product of all digits of a sixdigit number is 1296， among such sixdigit numbers， the smallest is ______________ 【 选自第 24届 初 一 希望杯试题 】 中文 翻译是 ：若有一个六位数各位数字的乘积是 1296，在所有的六位数字中，最小的一个是 ___ 将 1296 分解 质因数： 1296=2*2*2*2*3*3*3*3 .因为 要最 小。 所以 第一个 数字是 1， 再后面是 2， 剩下三个 就是 8,9,9 所以 是 112899 ： 例 5Let 20xx1   xyx， x and y are both positive integers， then the largest value of yx is ， the smallest value of yx is 【 选自第 24届 初 二 希望杯试题 】 易得 xy= 20xx=2*2* x与 y就是 在这 3个 中凑。 无疑 最大 值就是当 x=20xx， y=1的 时候。 答案 是 的话是 x=4,y=503(反过来 也可以 )。 答案 为 507。 还有 例 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7是自然数，且 x1x2x3x4x5x6x7， x1x2=x3， x2x3=x4， x3x4=x5， x4x5=x6， x5x6=x7，又 x1x2x3x4x5x6x7=20xx，那 么 x1x2x3的值最大是。 【 选自第 21届 初 一 希望杯试题 】 先 把这七个数 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都写出来。 1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x     = 1 2 1 2132 0 1 0 1 0 0 . 5213 020x x x x  。 假设 12xx ， 得 1 60x。 观察 一下 就可以的只要 1x 除以 20 所得 的值有 *.5 就 满足 条件 了。 而且 要是 1 2 3x x x最大 ，即 12xx 最大。 而 1 2 1 2 21 3 ( ) 7 23 101 2 0 0x x x x x  。 所以 2x 越小 ，那么 12xx 就 越大。 也就是 1x 最大。 因为 1213 2 00 2 10xx。 所以可得 1x =50， 因为小于 等于 60 除以 20 能 出来 的 最大的数就是 50， 那么 2x =68， 所以 1 2 3x x x=236 例 ,x2,x3,„ ,x100 是自然数，且 x1＜ x2＜ x3＜„ x100,若 x1＋ x2＋„＋ x100=7001，那么x1＋ x2＋„＋ x50的最大值是 ( ) 【 选自第 23届 初 二 希望杯试题 】 初中“希望杯”代数试题的研究 10 假设 这 100个 数是连续自然数。 那么 1 100 xx（ ） *50= 算 得。 当 1x =21时 ， 1 100 xx（ ） *50=7050， 当 1x =20 时 ， 1 100 xx（ ） *50= 1x 最大 的值为 20。 但是这样 的话就少了 就可以 把 最大的 51 个 数都加 要是最小的数加 1的话 ，整个式子要加 只能从最大的数开始加，然后加次大的。 依次 类推。 所以 1 2 50x x x＋ ＋ ＋ 的最大值为 22（ 20+20+49） *25+1=2226 纵观 以上关于最值的 题目 可以看出没 有 什么规律可言，内容多变丰富， 有 平方，绝对值，倍约数 ， 质因数等知识点。 不难 ， 但很灵活 ，平时 也要稍加注意 型 最值问题 例 225 5 4 32 4 10a b ab a b    的 最小值是 【 选自第 23届 初 一 希望杯试题 】 将 225 5 4 32 4 10a b ab a b    化成 完全平方式：     2 2 2225 5 4 3 2 4 1 0 2 2 8 6 4 2 4 1 0a b a b a b a b a b             所以 最小值就是 58 还有 是跟知识点 有 联系，比如 自然数 ， 奇偶 数，绝对值， 质数 等 相关。 例 例 2 当 | x2 || x3 |的值最小时， | x2 || x3 || x1 |的值最大是 ，最小是。 【 选自第 21届 初 一 希望杯试题 】 例 倍 数为 20xx，这两个数的最大公约数是最小的质数， 则这两个数的和的最大值是 ，这两个数的差的最小值是 【 选自第 21届 初 一 希望杯试题 】 这 两道题目都不难 ， 第一道只要把握 x的 范围是在 23x之间 然后取极值就可以了。 第二道 的话最大公约数 是 2， 和的最大值的话明显 当 两个数为 20xx 和 2 时 ，和是最大的 ， 为 最小的话 ， 我们最大最小公倍数除以最大公约数就是就是这两个 互质 的数 的乘积 ， 为 1005=5*201=5*3* 一个数为 30， 一个数 为 为 104 再看 例 4 当 1x 时 ，不等式 1 1 2x x m x     恒成立 ，那么实数 m 的 最大值是 【初二 22 届】 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 11 1 1 2x x m x     1 2 1x x x m      。 1x ,所以 当 21x，1 2 1x x x    =3+ 1x 当 x2 时。 明显1 2 1 2 1 1x x x x x        是 一个单调递增的。 所以 最小 值为 m的最大值 为 3. 例 00  acbacba ， ，则ac的最大值是 ，最小值是 【 选自第 24届 初 二 希望杯试题 】 这道题 重点在运用 大小 关系 abc。 02a b c a c    ，2 0 2ccaa      另一方面 ， ,2b c a b c a c     。 可 得 120 2cac a    . 所 以答案是 4. 方程 问题的分类 方程 在初中代数中的地位毋庸置疑，所以对 它 的研究是必然的。 方程 的求解 方程 的求解 占的比例 在 整个方程的研究 中 还是占有很大的比例的。 它 涉及 到 方程 （ 方程组 ） 的 求解 和与 解有关的运算 ， 方程根的相关运算和 函数求值 运算。 介于 在 涉及到函数的题目时很多是跟图像 联系 在一起。 所以 就 不把它归到代数试题的研究的。 首先 我们 先看方程（ 方程组 ） 的 涉及到解的问题 例 312  xx 的解是 或 ． 【 选自第 24届 初 二 希望杯试题 】 这道题 的难度相对应 大 了。 因为 要涉及分类讨 论。 这种类型的题目的话 可以 分成 2类 ：2 1 3xx   或 2 1 3xx  。 若 再 考虑把 21x 的 绝对值拿掉的话。 就要把 x分成初中“希望杯”代数试题的研究 12 x 12和 1x2。 对于 2 1 3xx   ， 将 x分类 后可得：12 1 3212 1 32x x xx x x               得 x无解。 所以对 于 2 1 3xx   按上述 进行分类后可得 x=2 或 x=4/3. 再看 另一 中 整数求解的题目。 例 2．用 x 表示不大于 x 的最大整数，如    4 1 4 2 5 3   . ， . ．则方程  6 3 7 0xx  的解是 ______________或 ______________． 【 选自第 21届 初 二 希望杯试题 】 解决这道 题目的关键就是能把 x的 范围定下来。 由题意可得： x1 [x]     6 3 7。