考研数学概率名师精华讲义f抽样分布(编辑修改稿)

考研数学概率名师精华讲义f抽样分布(编辑修改稿)内容摘要：

标准正态分布． Ⅲ、典 型例题分析 〖 填空题 〗 例 （ F 分布） 设随机变量 X 服从自由度为 ),( 21 ff 的 F 分布，则随机变量 XY 1 服从参数为 的 分布 ． 分析 因为服从自由度为 ),( 21 ff 的 F 分布的随机变量 X，可以表示为 222121 ffX  ，1212221 ffXY  ， 其中 2221  和 独立，分别服从自由度为 21 ff和 的 2 分布．由 F 分布变量的典型模式，知 Y 服从自由度为 ),( 12 ff 的 F 分布． 例 （ 2 分布） 设 4321 , XXXX 是来自正态总体  22 ,0N 的简单随机样本，记    243221 432 XXbXXaX  ， 则当 a ， b 时 , 统计量 X 服从 2 分布，其自由度为 ． 分析 由条件知 4321 , XXXX 相互独立且同正态分布  22 ,0N ．因此  21 2XX  服从正态分布 20,0N ，而  43 43 XX  服从正态分布  100,0N ，并且相互独立．由 2 变量典型模式知    100 43202 243221 XXXXT  服从自由度为 2 的 2 分布，从而 a=1/20 , b= 1/100． 例 （ 2 分布） 设 4321 , XXXX 相互独立同服从标准正态分布， X 是算术平均值，则 24X服从参数为 的 分布． 分析 熟知 4321 XXXX  服从正态分布 )4,0(N ，因此 — —  44 243212 XXXXX  服从自由度为“ 1”的“ 2 ” 分布． 例 （ t 分布） 假设总体 )3,0(~ 2NX ， 821 , XXX  是来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 28272625 4321 XXXXXXXXY 服从参数为 的 分布． 分析 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见 ．)1,0(~6)( 43214321 4321 NXXXXXXXX XXXXU   D 作为独立标准正态随机 变量的平方和， 9999 2822252 XXXX  ７６ 服从 2 分布，自由度为 4；随机变量 2 和U 显然相互独立．随机变量 Y 可以表示为  4496228222541UXXXXXXXXY ７６３２ ． 由 t 分布随机变量的典型模式，可见随机变量 Y 服从自由度为 4 的 t 分布 ． 例 （ F 分布） 设 ( 1521 , XXX  )是来自 正态总体  9,0N 的简单随机样本，则统计量 2152122112102221 21 XXX XXXY    的概率分布是参数为 的 分布 ． 分析 由 2 分布的典型模式，知 99 215211222102121 XXXX    和 服从自由度相应为 10 和 5 的 2 分布，并且相互独立．从而，由 F 变量的典型模式，知 510 21 222121521121021  XX XXY  服从自由度为 (10, 5)的 F 分布． 例 （ F分布） 设 X 服从自由度为  的 t 分布，则 2XY 服从参数为 的 分布． 分析 由自由度为  的 t 分布随机变量 X 可以表示为 2UX  ， 其中 2 ),1,0(~ NU 服从自由度为  的 2 分布，并且 2 和U 独立．由 2 分布变量的典型模式，可见 221 U 服从自由度为 1 的 2 分布．因此，由 F 分布变量的典型模式， 可见随机变量 — —   221222 1 UXY 服从自由度为 (1, )的 F 分布． 例 （ F 分布） 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布并且相互独立，则 22 YXZ  服从参数为 的 分布，． 分析 由于 X 和 Y 都服从标准正态分布，可见 2X 和 2Y 都服从自由度为 1 的 2 分布．此外，由 X 和 Y 独立，可见 2X 和 2Y ．从而，由服从 F 分布的变量的典型模式，知 22 YXZ  服从自由度为 (1,1)的 F 分布． 例 （ 2 分布 ） 设总体 )2,(~)2,(~ bNYaNX ， 并且独立；基于分别来自总体 X 和 Y 的容量相应为 nm和 的简单随机样本，得样本方差 22 yx SS和 ，则统计量  22 )1()1(21 yx SnSmT  服从参数为 的 分布． 分析 统计量 T 服从自由度为 2nm 的 2 分布．由 ()知 2221 )1(21 )1(21 yx SnTSmT  ， 分别服从自由度为 m－ 1 和服从自由度为 n－ 1 的 2 分布，并且相互独立．从而，由 2 分布随机变量的可加性知， T 服从自由度为 m+n－ 2 的 2 分布． 例 （经验分布函数） 设总体 X 在区间 [0,2]上服从均匀分布； xFn 是基于来自 X 的容量为 n 的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意  2,0x ， xFnE = ． 分析 总体 X 的分布函数为 xF =x/2，若  2,0x ； xF =0，若  2,0x ．对于任意  2,0x ，以 )(xn 表示 n 次简单随机抽样事件 }{ xX 的出现的次数，则 )(xn 服从参数为   xFn, 的二项分布，因此 )()(E xnFxn  ，从而     2)( xxFn xxF nn  EE ． 例 （经验分布函数） 设（ 2,1,5,2,1,3,1）是来自总体 X的简单随机样本值，则总体 X 的经验分布函数 xFn = . 分析 将各观测值按从小到大的顺序。