考研数学概率名师精华讲义e极限定理(编辑修改稿)

考研数学概率名师精华讲义e极限定理(编辑修改稿)内容摘要：

率 p 的绝对偏差不小于 Δ 的概率     pf nP ． () 试利用中心极限定理， (1) 根据 和n 求  的近似值； (2) 根据 和n 估计  的近似值； (3) 根据和 估计 n． 解 变量 n 服从参数为 ),( pn 的二项分布．记 pq 1 ，则由（ ）知，当n 充分大时 n 近似服从正态分布 ),( npqnpN ．因此，近似地有     ，～ )1,0(~  uUpqnn p qnppnpfNn p qnpUnnnnnPPPP () 其中 U 是服从 )1,0(N 的随机变量，而 u 是 )1,0(N 水平  双侧分位数 (附表 2)．故  upqn ． () (1) 已知 n 和  ， 求  ．利用附表 1，可以由（ ）求出  的值 (附表 1)．例如，若 ()式左侧等于 ，则  ．亦可由下式求  的近似值．有 ． 12 1     pqnpqnUpqnn p qnpn  PP () 进而由 )1,0(N 分布函数 )(x 的数值表（附表 1）最后求出  的值． (2) 已知 n 和  ， 求  ．由（ *）和 41pq ，可见 nunpqu 2  ； () (3) 已知  和  ，求 n．由（ ）和 pq 1/4，可见 — — 2 upqn 或 2241   upqun ． () 例 （棣莫佛 拉普拉斯定理） 假设某单位交换台有 n 部分机， k 条外线，每部分机呼叫外线的概率为 p ．利用中心极限定理，解下列问题： (1) 设 n =200， k =30， p =，求每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率  的近似值． (2) 设 n =200， p =，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率  95%，至少需要设置多少条外线。 (3) k =30， p =，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率  95%，最多可以容纳多少部分机。 解 设 n —— n 部分机中同时呼叫外线的分机数， k—— 外线条数，则 n 服从参数为 (n, p)的二项分布， np 24， npq =．当 n 充分大时，根据棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理，近似地 )1 ,0(~ NnpqnpU nn   ． (1) 设 n =200， k =30， p =，每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率     ． 9 0 4 243030     n p qnpnn PP (2) 设 n =200， p =， k —— 至少需要设置的外线条数，则  ．，； 3 1 . 5 4 4 1 .6 4 4 9242424  kkkkn p qnpk nn  PP 即至少需要设置 32 外线． (3) 设 k =30， p =，且每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率 95%．由   0 5 0 5    nnnnn p qnpnn  PP ，  nn ． — — 090 048 64 2  nnnn ， 它有两个实根： 3 3 1 0 4 3 1,7 9 7 8 8 21  nn ；经验证 3 104312 n 为增根，由此得 n ，即最多可以容纳 188 部分机． 例 （列维 林德伯格定理） 设 nXXX , 21  是独立同分布随机变量，nX 是其算术平均值．考虑概率    nXP ， () 其中 iXE  ni .,2,1  ，  0 和  (0 1)是给定的实数．试利用中心极限定理，根据给定的， (1) 和n ，求  的近似值； (2) 和n ，求  的近似值； (3) 和 ，估计 n． 解 式（ ）中的三个数 ),( n 相互联系。