kcja0403统计热力学教案之3(编辑修改稿)

kcja0403统计热力学教案之3(编辑修改稿)内容摘要：

 l laN ，  l llaE  ． 根据等概率原理，分布的概率与其包含的微观态数目成正比．因此，求最大概率的分布即求微观态数极大的分布．将分布记为｛ al｝，其包含的微观态数为 W，最概然分布应满足的极值条件为 9   0}{ laW ． 为便于数学处理，注意到 lnW 与 W 的正关系，我们考虑 lnW的极值．记入约束条件，用拉格朗日（ Lagrange）未定乘子法求条件极值．应满足的方程为 0)(ln  ENW  ． 式中  、  为未定乘子． 记 l 能级的简并度为 ωl，能级上的 al 个粒子填充 ωl 个态的方式有 lal 种，记入所有能级 ，总共有方式数 l al l ． 如前面推导，这里仍假定粒子是可分辨的，交换不同能级上的粒子会带来不同的微观态．故此，微观态数还应将上面数值乘以倍数 l laN!!． 最后得到给定分布 la 的微观状态数为  l all llaNW !!． 将其代入条件极值方程，用斯忒令（ Stirling）公式（设1 ,1  laN ）得微观状态对数为    l l l lllll aaaaNNNW lnlnlnln ． 条件极值方程成为 0ln   l llll aa  ． 成立的条件为 0ln  llla  ． 即 lea ll   —— 正是能级简并的 麦 — 玻分布． 式中的未定乘子由约束条件 l laN和 l llaE 确粒子置换总数 同能级粒子置换数 10 定．即粒子数守恒   l l leN  ， 得 Νze ， 其中 l l lez （粒子配分函数）． 能量守恒  l ll leE ． 具体计算系统（如理想气体）能量可确定未定乘子 kT1， k 为玻尔兹曼常数． 粒子处于 l 能级的概率为  l llllleeP ． 应当注意： (1) 麦 — 玻分布是 粒子（或子系） 的分布 ，不是系统（系综） 的分布 ． z 与 Z 不同． (2) 推导时已略去全同性，认为粒子可以分辨． 3．经典麦 — 玻分布（ Classical MaxwellBoltzmann Distribution） 在经典极限下，用对应关系将对量子态的求和过度到  空间的积分．假定将空间划分为相格子，体积元 ∆ωl 内的单粒子态数为 rlh．用它代替 ωl，在体积元 ∆ωl 内的平均粒子数为 r ll hea l   ． 约束条件写为 rll heN l    ， r ll l heE l     ， 粒子配分函数为 rll hez l   ． 相格子相加可用积分计算      ddpdpdqdq rrl l  11． 11 在 d 内的平均粒子数为 rrppqq hdezNhdedN rr //),( 11      粒子配分函数    dehz r1． 能量的表达式也由 εl 变为（ pq, ）的函数． 4．由麦 — 玻分布导出正则分布 (MB Distribution to Canonical distribution) 封闭系看成是完全相同的子系组成的孤立大力学系统的子系，相当于前述大热库是由与封闭系全同的系统构成． 将子系看作孤立系的粒子，麦 — 玻分布则 给出封闭系在 s态的概率 sEs eZ   1． 这事实上就是正则分布．   s EseZ  为配分函数． 由以上推导可见，正则分布等价于最概然（最可几）分布，也与微正则分布等价． 补遗： 1．前面的最概然分布推导中，只用了一阶变分为零的条件． 这在理论上不能保证所获得结果相应于极大值的充分条件．进一步的计算可以证明，二阶变分小于零，保证了所获点为极大点． 2. 最概然（最可几）法在数学上有严重缺欠．推导中用到的斯忒令（ Stirling）公式，要求 al 1，事实上是不能满足的．这个缺欠该方法自身不能解决．它要靠其它方法佐证． 12 167。 麦 — 玻分布的热力学公式 （ Thermodynamical formulae） 热力学公式 → 理想单原子分子气 → 正确的 玻尔兹曼计数 1. 热力学公式（ Thermodynamical formulae） 麦 — 玻分布虽然 是粒子的分布，用它同样可以计算体系微观量的统计平均，导出热力学公式． 先写出几个热力学函数的公式． 内能（平均能量）写为。 ln)( )(zNzzNeeeaEl l lllllll      压强 zVNeVzNeVeaVplll lllll llln )()(    对一般位形参数 y（ − V→ y），相应的广义力平均为 zyNY ln  类似于正则分布的推导（请学生自己推导），也可以用 麦— 玻分布 证明 )( dyYEd  为全微分．进一步得出熵的公式   zzNkS lnln ． 进而验证玻尔兹曼关系（学生可自己验证） WkS ln ． 自由能则为 zkTNF ln 13 2. 单原子分子理想气体（ Ideal gas consi。