编程与数学(编辑修改稿)

编程与数学(编辑修改稿)内容摘要：

值的语句要改成： IF i+j1 = n THEN k = (i+j1)*(i+j2)\2+i ELSE ░ k = n*(n+1)\2 + (3*n(i+j1))*(i+j2n)\2 + (n+1j) END IF 练习 6： 修改上面的程序 ， 使之能够显示 “ 蛇行 矩阵 ”， 它们的样子如下所示 ： 1 2 6 7 15 16 28 3 5 8 14 17 27 29 4 9 13 18 26 30 39 10 12 19 25 31 38 40 11 20 24 32 37 41 46 21 23 33 36 42 45 47 22 34 35 43 44 48 49 授课教师：南京师范大学数科院 朱玉龙 7 4， 螺旋矩阵 例 4，对于键入的 n（ 1≤ n≤ 20），显示一个 n 行 n 列的 斜行 矩阵。 下面给出的是 n=7 时的 斜行 矩阵。 1 2 3 4 5 6 7 24 25 26 27 28 29 8 23 40 41 42 43 30 9 22 39 48 49 44 31 10 21 38 47 46 45 32 11 20 37 36 35 34 33 12 19 18 17 16 15 14 13 为了推导此矩阵的解析式， 就要按照数字填写的次序来寻找规律。 我们可以把此矩阵分成若干圈，每一圈再 分成 4段，如下图所示： 1 2 3 4 5 6 7 24 25 26 27 28 29 8 23 40 41 42 43 30 9 22 39 48 49 44 31 10 21 38 47 46 45 32 11 20 37 36 35 34 33 12 19 18 17 16 15 14 13 图上从外向里各圈的圈号 c依次为 „ ，每圈 分 4段，段号 s按顺时针方向为 0、 3，矩阵中的每一个元素都有自己的所在圈号 c和所在段号 s，以及它在段中的“个号” d。 如位置（ 4， 3）处的元素 48，它的圈号 c为 3，段号 s为 3，个号 d为 1。 复习回形矩阵 、练习 练习 4中的三个矩阵，它们分别显示了圈号、段号和个号。 用两条对角线把矩阵分成 4个三角形，每个包括 半条对角线。 在每个三角形中按照不同的公式计算出每个元素的 c、 s、d，如右图所示。 对于每个元素，计算出 c、 s、 d之后，容易算出元素值 k： k=前 c1圈元素总数 +第 c圈的前 s段元素总数 +个号 d+1 注意， 第 1圈的每段元素个数 =n1，第 2圈的每段元素个数 =n3， ...，第 c圈的每段元素个数 =n+12c，所以， k=4*(n1+n3+...+n+32*c)+s*(n+12*c)+d+1 =4*(c1)*(n+1c)+s*(n+12*c)+d+1 综上所述 ，容易写出实现解析式的程序： INPUT n : , n FOR i = 1 TO n FOR j = 1 TO n IF i + j = n + 1 AND i j THEN c = n + 1 j: s = 1: d = i c ELSEIF i = j AND i + j n + 1 THEN c = n + 1 i: s = 2: d = n + 1 j c ELSEIF i + j = n + 1 AND i j THEN c = j: s = 3: d = n + 1 i c ELSE c=i s=0 d=jc c=j c=n+1j s=3 s=1 d=n+1ic d=ic c=n+1i s=2 d=n+1jc 授课教师：南京师范大学数科院 朱玉龙 8 c = i: s = 0: d = j c END IF k = 4 * (c 1) * (n + 1 c) + s * (n + 1 2 * c) + d + 1 PRINT USING。 k。 NEXT PRINT NEXT END 注意，为下面修改程序方便，本程序中的两条 NEXT语句省去了循环变量。 练习 7： 修改上面的程序 ， 使之能够显示 “ 反向 的螺旋 矩阵 ”， 它们的样子如下所示 ： 1 24 23 22 21 20 19 2 25 40 39 38 37 18 3 26 41 48 47 36 17 4 27 42 49 46 35 16 5 28 43 44 45 34 15 6 29 30 31 32 33 14 7 8 9 10 11 12 13 第 3 节 对称性 我们经常碰到这种情况，一个新的题目同我们以前编过的题目极为相似，那么此时最好的办法就是找出它们的共同点和差别处， 对原来程序稍加修改，此乃上策也。 充分利用已有的成果是编程者能力和修养的体现， 对问题本身求同存异是编程者必须掌握的技巧。 下面我们举几个矩阵的例子，说明这个道理。 1， 改变出发点 在上一节拐角矩阵之后 的练习中 ， 我们提到拐角矩阵的拐角可以在左上角、右上角、左下角和右下角。 如何修改例 4中的程序，使之能够显示各角的拐角矩阵 呢。 下面 我们给出三种方法。 方法 1： 按上一节的思想推导 出 各拐角矩阵的解析式 ，再转换成相应的程序语句，因为问题比较简单，这里直接写出程序语句： 左上角： IF i j THEN k = j ELSE k = i 右上角 ： IF i + j n + 1 THEN k = n + 1 j ELSE k = i 左下角 ： IF i + j n + 1 THEN k = j ELSE k = n + 1 i 右下角 ： IF i j THEN k = n + 1 j ELSE k = n + 1 i 方法 2： 观察左上角矩阵和 左下 角矩阵，把其中的一个 上下 翻转 180度就会得到另一个。 左上角程序是从第 1行开始一直显示到第 n行 ，如果我们从它的第 n行开始一直显示到第 1行，那么就会得到左下角矩阵，为此只需要修改第一个 FOR语句： INPUT n ； n FOR i = n TO 1 STEP 1 FOR j = 1 TO n IF i j THEN k = j ELSE k = i PRINT USING。 k。 NEXT 授课教师：南京师范大学数科院 朱玉龙 9 PRINT NEXT END 类似地，修改左上角程序的第二个 FOR，就会得到右上角矩阵： „ FOR i = 1 TO n FOR j = n TO 1 STEP 1 „ 如果把 左上角程序的两个 FOR语句都改了 ,就得到右下角的拐角矩阵 : „ FOR i = n TO 1 STEP 1 FOR j = n TO 1 STEP 1 „ 方法 3: 比较方法 1中给出的 4个语句，我们会发现 ， 后 3个语句可以通过 变换 第 1个语句中的 i、j变量得到 ： 把“ 左上角” 语句中的 i换成 n+1i就得到“ 左下角 ”语句 把“ 左上角” 语句中的 j换成 n+1j就得到“ 右上 角”语句 把“ 左上角” 语句中的 i换成 n+1i并且把 j换成 n+1j就得到“右下角”语句 因此，我们可以不改变原有的 “ 左上角” 语句 ，而是改变变量 i 和 j 的内容，以达到同样的目的。 但是 i和 j 都是循环变量，不允许在循环体中修改，为此我们不妨把 FOR语句中的 i和 j 改名为 i1 和 j1，于是就得到了下面的程序 ： 左下角螺旋矩阵 ： INPUT n ； n FOR i1 = 1 TO n FOR j1 = 1 TO n i = n + 1 i1： j = j1 IF i j THEN k = j ELSE k = i PRINT USING。 k。 NEXT PRINT NEXT 右上角螺旋矩阵 ： „ i = i1： j = n + 1 j1 „ 右下角螺旋矩阵 ： „ i = n + 1 i1： j = n + 1 j1 „ 练习 8： 以上三种改变出发点的方法不仅适合于 拐角 阵，也适合于斜行矩阵、螺旋矩阵。 作为练习，请你在机器上验证一下。 2，改变矩阵方向 拐角矩阵有 4 种不同出发点的图案，但是对于斜行 矩阵和螺旋矩阵的每一个出发点还可以有两个方向。 例如，练习 7让你修改螺旋矩阵程序，使之能够显示反向的螺旋矩阵。 怎样修改最简单呢。 “正向的矩阵”和“反向的矩阵”是以主对角线为对称的，换句话说，把一个矩阵沿授课教师：南京师范大学数科院 朱玉龙。