第十一章稳恒磁场(编辑修改稿)

第十一章稳恒磁场(编辑修改稿)内容摘要：

计算问题，可把稳恒电流分成无限多个电流元，先求出每个电流元在该点产生的磁感应强度，再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的磁感应强度（ BBdlId   ） 问题： BdlId 。 2． Biot― Savart― Laplace 定律 1820 年 10 月 30 日（在距 Oersted 报道电流磁效应不到三个月），法国的Biot 和 Savart 在法国科学院发表文章，从实验中分析了电流和磁效应之间的关系。 如图所示，小磁针转动强弱反应该点磁感应强度的大小。 实验发现： 大， B 小， aB /1 2. I 大， B 大， IB 结论： aIkB＝ 不久， Laplace 假定，电流由电流元 lId 组成：  lId 产生的磁感应强度 Bd 与 I 成正比；  磁感应强度 Bd 的大小与电流元 lId 的表观长度 sindl 成正比；  磁感应强度 Bd 的大小与 r 的平方成反比。 在实验上基础上经科学抽象得到：在载流导线上取电流元 lId ，空间任一点 P，该点的磁感应强度为 Bd ， lId 与矢径 r 的 夹角为  ，实验表明，真空中 2sinrIdlkdB  在 SI 制中， k=μ 0/4π ，其中μ 0=4π 107N A2为真空磁导率。 故 20 sin4 rIdldB  Bd 的方向：即 rlId  的方向 (右手螺旋法则确定 ) 写成矢量形式为 304 r rlIdBd  或 第 33 讲 稳恒磁场 —— 磁场的基本概念，毕奥－萨伐尔定律 8 2 004 r rlIdBd  其中 rrr /0   为矢径 r 方向上的单位矢量。 这就是 Biot― Savart― Laplace 定律，也称为 Biot― Savart― Laplace 定律。 3．任意载流导线在 P 点的磁感应强度 B 为  304 r rlIdBdB 4．说明：  该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实 验直接加以证明，但是由该定律出发得出的一些结果，却能很好地与实验符合。  电流元 lId 的方向即为电流的方向；  3. Bd 的方向由 rlId  确定，即用右手螺旋法则确定；  Biot― Savart― Laplace 定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律，原则上可以求解任何稳恒载流导线的磁感应强度。 二、 BiotSavart 定律应用举例： 解题步骤：  根据已知电流的分布与待求场点的位置，选取合适的电流元 lId ；  选取合适的坐标系。 要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；  根据所选择的坐标系，按照 Biot― Savart― Laplace 定律写出电流元产生的磁感应强度；  由叠加原理求出磁感应强度的分布；  一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。 由于数学上的困难，下面仅计算几个基本而又典型的稳恒电流产生磁场问题。 典型例题： 两种基本电流 周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。 例 1.（课本 P131）载流长直导线的磁场 （ 1）一段载流直导线的磁场 )c os(c os4 2100   rIB 解： 建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元 Idz，由毕 — 萨定律得元电流在P 点产生的磁感应强度大小为： 20 sin4 rIdzdB  方向为 。 所有电流元在 P 点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即： 20 s in4 rIdzdBB   （ 1） 由图得： 第 33 讲 稳恒磁场 —— 磁场的基本概念，毕奥－萨伐尔定律 9    a c t ga c t gz  , 因此： dadz 2csc 此外，    sinsin aar  代入（ 1）可得：  2100220c o sc o s4s i n4s i ns i nc s c421  aIdaIadIaB 讨论： （ 1）无限长直通电导线的磁场： 002rIB ，方向。 （ 2）半无限长直通电导线的磁场： 004 rIB  （ 3）其他例子 、 、 、 （ 4）解题的关键：确定电流起点的 1 和电流终点的 2。 例 2:（课本 P132）圆形载流导线轴线上的磁场） 设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的 P 点的磁感应强度。 解： 建立坐标系如图，任取电流元 lId ，由毕 — 萨定律得： 20200490sin4rIdlrIdldB 方向如图：  lIdrBd  , ，所有 Bd 形成锥面。 将 Bd 进行正交分解： BdBdBd  // ，则由由对称性分析得： 0  dBB ，所以有： s in//// BdBdBB   第 33 讲 稳恒磁场 —— 磁场的基本概念，毕奥－萨伐尔定律 10 因为  rrR，sin 常量， 所以 3202030 44 rIRdlrIRB R     因为 2222 RSRxr  ， 所以   232203 20 22 xR ISrIRB    方向：沿 x 轴正方向，与电流成右螺旋关系。 讨论： （ 1） 圆心处的磁场： 0x ， RIB 20。 （ 2）当 Rx 即 P 点远离圆环电流时， P 点的磁感应强度为： 302 xISB 。 例 1．载流长直导线周围的磁场： Magic Field around a long straight carryingcurrent wire 问。