第15讲同态与不变子群(编辑修改稿)

第15讲同态与不变子群(编辑修改稿)内容摘要：

. 注意 2： 习惯上称  为  的导出同态。 三、子群与子群的完全原象 设 BAf : 是映射：都知道： 3 的象是 a ，而称 3 是 a 的逆象（原象），但 a 的逆象不仅 3 一个，还有 1和 4，于是令 }4,3,1{ ，则称  是 a 的完全原象，通常将  记为 )(1 af 同理 }6,5,4,3,1{},{1  daf —— 由 a和 d 的全部逆象作成的 A 的子集。 定义 2： 设 GG: 是群同态映射，若 GH ，那么由子群 H 中的元素在 G 内的全部逆象构成的集合叫做 H 的完全原象记为 )(1 H ，即 })(|{)(1 HgGgH   . 注意 3： 再强调一下： )(1 H 是 G 的一个子集，它由 H 中的每个元素在  之 下的一切逆象组成。 符号 )(1 H 不意味  存在逆映射，用 1 只是表示求  之下的全部逆象而已。 定理 3— 4. 设 GG: 是群同态满射 ,于是有下列结果 (1) 若 GH ,那么   GH  . (2) 若 GH ,那么   GH  . (3) 若   GHGH  1 ,并 ker   H1 (4) 若   GHGH  1  且 ker   H1 . 证明 : (1)     ggHgGgH   使 表示 H 在  下的象 .于是   HyxHyx  , 　　 使    yxx   , ,进而 ,      xyyxyx   ,因为 HxyGH   Hx  1 . 由上知   GH  . (2)  GH , 由 (1)   GH  , 另外 ,   GgHx  , ,    ggxxGgHx   ,使　和 于是        111   gx ggxggxg  ，因为 HgxgGH  1      HgxgHgx g    11 即   GH  . 注意 4. 在 (1)的证明中 ,没有用到  是满射的条件 ,但在 (2)中用到了 . (3)  Hyx 1,   ,那么     ., HyyHxx   于是       Hyxyxxy      HxyGH 1  另外 ,     Hxxx   111   GH  Hx 11    由上知   GH 1 ，且          HHHeaa 11 k e rk e r    （ 4） ,GH 由 （ 3）   GH  1  Hx 1  ， Gg . 则              111   gxggxgg x g  Hgxg  1 ,   Hg xgGH 11    ,   GH 1 . 注意 5. (3)和 (4)的证明都没有用到  是满射的条件 . 思考 1 设 GG: 是群同态 ,且  .ker N ,则 (1)设 .Ga , 那么    ,1 aa   对吗 ? (2)设 Ga , 那么    aa 1 对吗 ? (3)设 GH , 那么    HH   1 对吗 ? (4)设 GH ,那么    HH 1 对吗 ? 答 : (2)和 (4)是正确的 ,而 (1)和 (3)是不正确的 . 为了更地解答 (1)和 (3),我们有下列结论 : 结论 4 设 GG~ , 则  ker。