1672构造法(编辑修改稿)

1672构造法(编辑修改稿)内容摘要：

AB，且 AC与 BD 方向相反，取 AC=1，BD=4，点 M 在 AB 上运动 (如图 5— 9)．设 AM=x， BM=y， +MD 取最小值．由△ ACM∽△ BDM，得： x∶ y=1∶ 4． 于是所求最小值为 13． 例 8 若 x＞ 0， y＞ 0， z＞ 0，求证： 这是一个代数不等式的证明问题，直接用代数方法相当繁杂，但是，考虑到 x、 y、 z 均为正数， xy=2xycos60176。 ，则可构造四面体 O— ABC，如图 5— 10，使∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=60176。 ．设 OA=x， OB=y， 故原不等式成立． 这种构造的重要之点在于，善于发掘题设条件中的几何意义，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决． 例 9 利 (Morley)定理的构造证法． 定理：将任意三角形的各角三等分，则与每边相邻的两条三等分线的交点构成一个正三角形． 证：如图 5— 11，设 AD、 AE、 BE、 BF、 CF、 CD都是三角形 ABC 的内角三等分线．要证明△ DEF 为正三角形，可以先作正△ D′ E′ F′、分别以△ D′ E′ F′的三边为边向外侧作△ A′ D′ E′，△ B′ E′ F′，△ C′ F′D′，使 连 A′ B′ C′得△ A′ B′ C′，过 F′作 MN∥ D′ E′ (如图 5— 12)． 因此 MF′ =F′ N，且 △ B′ MF′∽△ F′ NC′， 于是△ B′ F′ C′∽△ F′ NC′． ∴∠ A′ B′ C′ =∠ B，∠ A′ C′ B′ =∠ C． △ ABC∽△ A′ B′ C′， 从而△ DEF∽ △ D′ E′ F′． 故△ DEF 为正三角形． 四、构造结论法 构造结论法，就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法．有些数学命题是断言存在着具有某种性质的数学对象，或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质，对于这种类型的数学命题，证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象，用构造结论的办法对数学命题作出证明，称为“构造性证明”． 例 10 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任意实函数f(x)，都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和． 证：若 f(x)本身就是一个奇函数，则令 f(x)=f(x)+0 g(x)；若 f(x)本身就是一个偶函数，则令 f(x)=f(x)+0 h(x)，其中 g(x)， h(x)分别是与 f(x)定义域相同的偶函数、奇函数．即知命题正确．。