20xx陈文灯考研数学复习指南习题详解(理工)-高等数学ch7(编辑修改稿)

20xx陈文灯考研数学复习指南习题详解(理工)-高等数学ch7(编辑修改稿)内容摘要：

1 )1(n nna 发散 , 证明 : 级数 11 )1(n nnaa 收敛 . 2. 设正项数列 }{na , }{nb 满足 0(11   nnnn baab为常数 ), 证明 : 级数 1n na收敛 . 证明 : 1. 因为正项数列 }{na 单调下降 , 且  1 )1(n nna 发散 , 由莱布尼兹判别法 , aann lim 存在 , 且 0a . 容易证明 : aan n  , .(反设存在 N, 使得 aaN . 则 kNNN aaaa   1 , 令 k , 得到 aaa N  , 矛 盾 ). 所以 a aaa aaaa nnn nnnn 1111  . 因为 11nnn aaa 收敛 , 所以 11 )1(n nnaa 收敛 . 2. 考 察 数 列 }{ nnab , 因为 0(11   nnnn baab为 常 数 ), 所以0111   nnnnn aabab , 即该数列递减有下界 , 于是 nnn ablim 存在 . 由此推出 1 11 )(n nnnn abab 收敛 .  111   nnnnn ababa , 所以级数 1n na 收敛 . 五 . 求下列级数的收敛域 : 1.  123 )1)(3(nnn xn 8 解 .    12312123 )1()1(3)1)(3(nnnnnnnn xnxxn 第一个级数的收敛半径为31, 第二个级数的收敛半径为 1. 所以它们的共同收敛区域为)311,311(  . 考察端点 : 当311x时 , 得    131 31 n nnn 第一个级数发散 , 第二个级数收敛 . 所以该级数发散 . 原级数的收敛区域为 )311,311( . 2. 112 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212  xnxn nn, 于是 1|| x . 当 1x 时 , 得  1 121)1(nn n , 收敛。 当 1x 时 , 得  11 12 1)1(nn n , 收敛 . 于是原级数的收敛区域为 [－ 1, 1]. 3. 1122 12nnn xn 解 . 2||12 ||||2 12l i m 212   xxxnn nnn ，. 当 2x 时 , 得数项级数 1 212nn 及 1 212n n , 通项都不趋于 0, 发散 . 该级数的收敛区域为 )2,2( . 4.   1 21n nnn xx 解 .    111 212 1n nnnnn nnn xxxx 9 第一个级数的收敛区域 (－ 1, 1)。 第二个级数的收敛区域21|| x. 所以公共收敛区域为)121()211( ，  . 5.  129)1(n nnnx 解 . 19 |1|9 |1|lim22  xnxn nnn. 当 31 x 时得数项级数 11n n, 发散 . 该级数的收敛区域为 (－ 2, 4). 6. 1)5(nnnx 解 . 1|5||5|1lim  xxnnnn. 当 15 x 时 , 得 1)1(nnn收敛 , 当 15x 时 , 得 11n n发散敛 . 该级数的收敛区域为 [4, 6). 六 . 求下列级数的和 : 1.  0 )73)(43)(13(1n nnn 解 .    nknk kkkkkk 11 73143 213 1181)73)(43)(13( 1 =   73 143 213 113110271101724171421181 nnn =24173 143 1411181   nn. 所以 241)73)(43)(13( 10 n nnn 2.  1 )(1n mnn 10 解 .   mnnmmnn 111)( 1. 令 n充分大 , n     nknnknn mkkmmkkmnn 111 11l i m1)( 1l i m)( 1 =    mmmnnmm n 121111111211l i m1  3.  1121 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212  xnxn nn级数收敛 , 所以收敛半径为 1. 当 1x 时都得到交错级数 . 由莱布尼兹判别法知收敛 . 所以收敛区域为 [－ 1, 1].令 )(xs  1121 12)1(nnn nx . )(39。 xs 21221 1 1)1( xxnnn  所以 xdxxdxxsxs xx a rc t a。