20xx年高考数学试题分类汇编——数列(编辑修改稿)

20xx年高考数学试题分类汇编——数列(编辑修改稿)内容摘要：

kkbqSq k k k k       （ k≥ 3） . ).1(22122.12,2112111.2111.1,2111,12,1)(2,121111111211212nnhnSbnnSnnSSabSSSSSSSSSSSSSbbbSSSbbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn时，所以　　当即　　）（＋＝由上可知　的等差数列，公差为是首项为所以数列又所以　）（即　　　）（所以　　又　 郑学伟 第 10 页 20201011 延津县高级中学 7.（ 江苏卷 19） .（Ⅰ）设 12, , , na a a 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公差 0d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 n =4 时，求 1ad的数值；②求 n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于 一个给定的正整数 n(n≥ 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12, , , nb b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用． （Ⅰ）①当 n＝ 4 时， 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出 d＝ 0． 若删去 2a ，则有 23 1 4,a a a 即    21 1 123a d a a d   化简得 21 4ad d ＝ 0，因为 d ≠ 0，所以 1ad =4 ； 若删去 3a ，则有 2 14a a a ，即    21 1 1 3a d a a d  ，故得 1ad =1． 综上 1ad =1 或－ 4． ②当 n＝ 5 时， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项． 若删去 2a ，则有 15aa＝ 34aa，即      1 1 1 14 2 3a a d a d a d   ．故得 1ad =6 ； 若删去 3a ，则 15aa＝ 24aa，即      1 1 1 143a a d a d a d   ． 化简得 3 2d ＝ 0，因为 d≠ 0，所以也不能删去 3a ； 若删去 4a ，则有 15aa＝ 23aag ，即 ( ) ( ) ( )1 1 1 142a a d a d a d+ = + +gg．故得 1ad = 2 ． 当 n≥ 6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 1a ， 2a ， 3a ，…， 2na ， 1na ， na 中， 由于不能删去首项或末项，若删去 2a ，则必有 1 naa＝ 32naa ，这与 d≠ 0 矛盾；同样若删 去 2na 也有 1 naa＝ 32naa ，这与 d≠ 0 矛盾；若删去 3a ，…， 2na 中任意一个，则必有 1 naa＝ 21naa ，这与 d≠ 0 矛盾． 综上所述， n∈ {4， 5}． （Ⅱ）略 8.（ 江西卷 19） ． （本小题满分 12 分） 数列 {}na 为等差数列， na 为正整数，其前 n 项和为 nS ，数列 {}nb 为等比数列，且 113, 1ab，郑学伟 第 11 页 20201011 延津县高级中学 数列 {}nab是公比为 64 的等比数列， 2264bS . （ 1） 求 ,nnab； （ 2） 求 证121 1 1 34nS S S   . 解：（ 1）设 {}na 的公差为 d ， {}nb 的公比为 q ，则 d 为正整数， 3 ( 1)na n d   ， 1nnbq 依题意有 13 63 ( 1 )226 4 2( 6 ) 6 4nnnda dndab q qbqS b d q      ① 由 (6 ) 64dq知 q 为正有理数，故 d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一， 解①得 2, 8dq 故 13 2( 1 ) 2 1 , 8 nnna n n b       （ 2） 3 5 ( 2 1 ) ( 2)nS n n n       ∴121 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 ( 2 )nS S S n n           1 1 1 1 1 1 1 1( 1 )2 3 2 4 3 5 2nn          1 1 1 1 3(1 )2 2 1 2 4nn     9.（ 湖北卷 21） .(本小题满分 14 分 ) 已知数列 {}na 和 {}nb 满足： 1a  ,1 2 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 ) ,3 nn n n na a n b a n       其中  为实数， n 为正整数 . （Ⅰ）对任意实数  ，证明数列 {}na 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列 {}nb 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设 0 ab, nS 为数列 {}nb 的前 n 项和 .是否存在实数  ，使得对任意正整数 n ，都有 na S b?若存在，求  的取值范围；若不存在，说明理由 . 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思 想，考查郑学伟 第 12 页 20201011 延津县高级中学 综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分 14 分） （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛ an｝是等比数列，则有 a22=a1a3,即 ,094949494)494()332( 222   矛盾 . 所以｛ an｝不是等比数列 . (Ⅱ )解：因为 bn+1=(1)n+1［ an+13(n1)+21］ =(1)n+1(32an2n+14) =32(1)n（ an3n+21） =32bn 又 b1x(λ +18),所以 当λ＝－ 18， bn=0(n∈ N+),此时｛ bn｝不是等比数列： 当λ≠－ 18 时， b1=(λ +18) ≠ 0,由上可知 bn≠ 0，∴321 nabb(n∈ N+). 故当λ≠ 18 时，数列｛ bn｝是以－（λ＋ 18）为首项，－ 32 为公比的等比数列 . (Ⅲ )由（Ⅱ）知，当λ =18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求 . ∴λ≠ 18，故知 bn= （λ +18）（－ 32 ） n1， 于是可得 Sn= .321)18(53  n）－（－　 要使 aSnb 对任意正整数 n 成立， 即 a53 (λ +18)［ 1－（－ 32 ） n］〈 b(n∈ N+) ，则令　　　　　　　　　　得)2(1)()32(1)18(53)32(1nfbann ① 当 n 为正奇数时， 1f(n) ,1)(95。 35  nfn 为正偶数时，当 ∴ f(n)的最大值为 f(1)=35 ,f(n)的最小值为 f(2)= 95 , 于是，由①式得 95 a53 (λ +18), .1831853  abb  当 ab 3a 时，由－ b18  =3a18，不存在实数满足题目要求； 当 b3a 存在实数λ，使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且λ的取值范围是（－ b18,3a18） . 郑学伟 第 13 页 20201011 延津县高级中学 10.（ 湖南卷 18） .（本小题满分 12分） 数列   221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s in , 1 , 2 , 3 , .22n n nnna a a a a n     满 足 (Ⅰ )求 34,aa并求数列 na 的通项公式； (Ⅱ )设 21122 ,.nn n nnab S b b ba     证明：当 16 2 .nnS n  时 ， 解 : (Ⅰ )因为 121, 2,aa所以 223 1 1(1 c o s ) s in 1 2 ,22a a a      224 2 2(1 c o s ) sin 2 4 .a a a     一般地，当 *2 1( N )n k k   时， 222 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] s in22kkkkaa     ＝ 211ka   ，即 2 1 2 1  所以数列  21ka 是首项为 公差为 1的等差数列，因此   当 *2 ( N )n k k时， 222 2 2 2( 1 c o s ) s in 2 .22k k kkka a a     所以数列  2ka 是首项为 公比为 2的等比数列，因此 2  故数列 na 的通项公式为**21 , 2 1 ( N ) ,22 , 2 ( N ) .n nn n k kan k k      (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， 2122 ,2nn na nb a  231 2 3 ,2 2 2 2n nnS      ① 2 2 4 11 1 2 32 2 2 2 2n nnS      ② ① ②得，2 3 11 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n nn nS       21111[1 ( ) ]122 1.1 2 2 212n n nnn     所以1。