计算机数学基础数值分析期末复习提纲(编辑修改稿)

计算机数学基础数值分析期末复习提纲(编辑修改稿)内容摘要：

lxRxP nnkk knn    。 由于  )()( xf n ,故有 nk k xl )(。 例 4 已知数据如表的第 2， 3 列，试用直线拟合这组数据。 k xk yk kx xkyk 1 1 4 1 4 2 2 4 9 3 3 6 9 18 4 4 8 16 32 5 5 25  15 31 55 例 5 选择填空题 P(x),只要满足 ( ),则 P(x)是不超过一次的多项式。 (A) 初始值 y0=0 (B) 一阶均差为 0 (C) 二阶均差为 0 (D)三阶均差为 0 解答 ：因为二阶均差为 0，那么牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x－ x0) 它是不超过一次的多项式。 故选择 (C)正确。 2. 拉格朗日插值多项式的余项是 ( ),牛顿插值多项式的余项是 ( ) (A) )()!1( )()( 1)1( xnfxR nnn   (B) f(x,x0,x1,x2,…, xn)(x－ x1)(x－ x2)…( x－ xn－ 1)(x－ xn) (C) )!1( )()()1(nfxRnn  (D) f(x,x0,x1,x2,…, xn)(x－ x0)(x－ x1)(x－ x2)…( x－ xn－ 1)(x－ xn) 解答 ： (A)， (D)。 见教材有关公式。 (四 )参考练习题：练习 ： (A) 5； (B) 2， 3， 5；练习 ： (A) 1,2。 (B) 2， 3， 4； 练习 ： (A) 1。 (B) 1,3,4；练习 :(A) 1,3。 (B) 1,2；习题 11： 5(1) (3),6 第 12 章 数值积分与微分 (一 )考核知识点 数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿――科茨求积公式，科茨系数及其性质， (复化 )梯形求积公式， (复化 )抛物线求积公式；高斯型求积公式，高斯点， (二点、三点 )高斯――勒让德求积公式； (二点、三点 )插值型求导公式。 (二 ) 复习要求 1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。 2. 了解牛顿 科茨求积公式和科茨系数的性质。 熟练掌握并推导 (复化 )梯形求积公式和(复化 )抛物线求积公式。 3. 知道高斯求积公式 和高斯点概念。 会用高斯 勒让德求积公式求定积分的近似值。 4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。 (三 )例题 例 1 试确定求积公式 )()(d)( ffxxf的代数精度。 解 当 f(x)取 1,x,x2,… 计算求积公式何时精确成立。 (1) 取 f(x)=1,有：左边＝    xxxf dd)(, 右边＝ 2 解 将 kkk yxx ,2 的计算结果列入表中。 因为 n=5。 a0,a1 满足的法方程组是    .aa aa 解得 a0=, a1=。 所求拟合直线方程为 y=+ 6 (2) 取 f(x)=x,有：左边＝ 0dd)( 1111    xxxxf, 右边＝ 0 (3)类似导出， 取 f(x)=x2, x3, 有左边 =右边 (5) 取 f(x)=x4,有：左边 =2/5, 右边 =2/9 当 k3 求积公式精确成立，而 x4 公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数精度。 例 2 试用梯形公式、科茨公式和抛物线公式计算定积分 . dxx(计算结果取 5 位有效数字 ) (1)用梯形公式计算    .].[.)]().([.d. ffxx (2)用科茨公式 系数为 , ]....[.d.     xx ＝  .]....[ (3)如果要求精确到 10－ 5，用复化抛物线公式，截断误差为 ,)( /)(   xxf   .m a x)(m a x /)( xxfM bxabxa RN[f] b ah M2880 44   )()( NMhab, N2 只需把 [,1]4 等分，分点为 ,1   .])..(..[.)]()).().(().().([d. fffffhxx 例 3 用三点高斯－勒让德求积公式计算积分  xxdxsin 解 做变量替换 )(  tx ，有 10 dsin xxx＝   tt d1t)(sin。 查表得节点为  596 669 和 0；系数分别为 555 5556 和 888 8889 10 dsin xxx＝  11 d1)1(21sin。