研究命题走势讲究应试策略(编辑修改稿)

研究命题走势讲究应试策略(编辑修改稿)内容摘要：

有的价值，因此，它也是命题改革的一个难点。 （ 6）关注学科整合，重视知识衔接 学科知识的整合既是数学改革的方向，也是培养学生良好的思维品质及创新精 神的有效途径． — 方面，数学本身是一个结构缜密的有机整体，各部分知识间存在着千丝万缕的联系，另一方面，数学作为自然科学的工具，在各个学科都有着广泛的应用。 设置一些能体现数学间相互联系的问题，合理地整合学科内知识或将数学知识与其他学科进行有机地融合，要求考生在较大的知识背景中利用它何来综合地分析问题和解决问题，有利于考生展示自身的综合素质和综合能力．同时，随着教育事业的发展，多数学生都要进人高校学习，近年来的试题重视了对高中与大学衔接的知识与能力的考查，一是引导高中教学做好高中与大学的衔接，二是对学生升入高校继 续学习应具备的基本素质进行考查，使高校学习有一个基本的保证。 例 16 （ 2020年全国卷 I 理科第 22 题）（ I）设函数 f(x） =xlog2x+（ 1x） log2（ l－ x）（ 0＜ x＜ 1），求 f（ x）的最小值； （ II）设正数 P1， P2， P3， … p2n满足 P1+P2+P3+„ +P2n＝ 1，证明 P1log2P1+ P2log2P2+ P3log2P3+… + P2nlog2P2n≥ n （答案：（ I） f（ x）的最小值为 1．（Ⅱ）用数学归纳法求证，证明略。 ） 评析：本题的背景是高等数学的下凸函数及琴生不等式，主 要考查考生整合函数、方程、不等式等基础知识的能力及分析问题和解决问题的能力。 例 17（ 2020 年湖北卷理科笫 22 题）已知不等式 21 +31 +… +n1 ＞ 21 ［ log2n］，其中 n 为大于 2 的整数，［ log2n］表示不超过 log2n 的最大整数。 设数列 {an}的各项为正，且满足 a1＝ b（ b＞ 0）， an≤11nnanna＝⒉ ⒊⒋„178。 （ I）证明 an＜][log2 2 2 nb b,n＝⒊⒋⒌„； （Ⅱ）猜测数列 {an}是否有极限。 如果有，写出极限的值（不必证明）； 9 （ III）试确定一个正整数 N，使得当 n＞ N 时，对任意 b＞ 0，都有 an51 （答案：（ I）证明略．（ II）有极限，且 0lim  nn a。 （Ⅲ） N＝ 1024．） 评析：本题的背景是高等数学中发散的调和级数与高斯函数．巧妙的整合了对数、数列、函数、不等式、极限等基础知识，尤其是用不等式 表示数列的递推式，可谓匠心独具。 高考命题讲究“考查潜能”，高等数学无疑是“考查潜能”的沃土。 但是，命题时也不宜将高等数学全盘托出，否则会有失高考的公平性，对中学数学的教学工作也会带来误导，因而要在初等数学与高等数学之间选择恰当的命题点命题，才会给高考带来积极的意义。 （ 7）变革考试理念，彰显人文精神 传统的考试过分关注甄别、遴选功能，人为制造紧张氛围，使考场如战场，“硝烟味”特别浓．针对这一弊端，教育部考试中心及有自主命题权的省、直辖市的数学命题改革重点凸现以下三个方面： 首先，着眼于考试理念的变革，力求 发挥考试的诊断、改善、激励等正面导向作用，突出试题的人文价值功能。 例 18（ 2020 年重庆卷文科第 16 题）毛泽东在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”，巳知地球的体积大约是火星的 8 倍，则火星的大圆周长约＿＿万里．（答案： 4） 评析：本题和地理、文学有一定的联系，从科学的角度说明诗词歌赋是有实际生活基础的，体现了数学的人文精神。 例 19（ 2020 年上海卷文、理科第 11 题）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是＿＿＿．（答案：用代数方法研究图形的几何性质） 评析：本题一是有人文背景 ，二是体现了数学文化的新课标的理念． 其次，命题改革有意识地关注考生在情感、态度和价值观方面的表现如 2020年和 2020 年在福建卷、天津卷中，均出现了一行“祝各位考生考试顺利。 ”的文字，让考生感到高考试题有选拔功能的同时，有了人情味，这有利于减轻考生的紧张情绪，多了一份关怀与和谐。 第三，在命题的立意上，从单纯关注教师的教转到对教和学的双向关注，使试题在反映考生必要的水平结构和进一步学习所需要的能力结构基础上，既能切实考查考生的实际水平，又能在单位时间内让考生尽展所能。 例 20（ 2020年全国卷文科第 22 题 ）（ 1）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1， 2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等．请你设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 l、图 2 中，并作简要说明； （ 2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （ 3）（附加题）如果给出的走一块任意三角形纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明． ［答案：（ l）如图（ l），沿正三角形＝边中点连线折 起，可拼得一个正三棱锥；如图（ 2），在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边产长为三角形边长的 41 ，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可组成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（ 2） V 柱 ＞ V 锥 （ 3）如图（ 3），分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上 底，余下部分按虚线折起，成为一个直三棱柱，即可得到一个直三棱柱模型。 ］ 10 评析：本题将具有“智力游戏”色彩的拼图问题移植于高考题中，人手容易、深入较难，在难度设置上，分三个层次逐步递进，让考生拾级而上，在探究，的同时体验设计的智趣，呼应了数学课程改革的新理念，具备浓厚的研究性学习的味道，在第二、三个层次上，逼过开放性设问，鼓励考生大胆探索、标新立异．在研究性学习已经成为教改潮流的今天，倡导以试验、研究的方法来处理几何问题，考查考生的探究能力和空间想象能力，起到了“一箭双雕”的作用，必将成为今后高考几何命题 的新导向。 另外，附加题重现高考试卷，充分体现了“以人为本”的考试理念，为能力较强的考生提供了展示自我的舞台，代表了课程与评价改革的良好发展方向。 这样，考生在考场中不单是在接受考验，同时也是一种自我展示，不仅能真切感受到数学的工具作用和人文价值，而且能体验到探究之后成功的乐趣，增强进一步学习的动力和信心，从而达到以考促学的目的。 2020 年和 2020 年数学高考各地的试卷都较好地体现了基本题型与综合题型的匹配，能力考查深度与教学实际的相关程度等问题，形成了较为合理的布局，发挥了试卷的整体效在内容上着重考查主干知识而不刻意追求知识体系的覆盖面；在难度分布上，文科易、中、难题题分之比约为 5： 4： 1，理科约为 5： 3： 2，试卷难度一般在 ，并且难点分散，试卷往往只设置 3～ 4 个难点，即使压轴题也采取“竹节式”命题的方式，设计了若干个递进的层次。 如 例 21（ 2020 年广东卷第 20 题） A是由定义在［ 2， 4］上且满足如下条件的函数  （ x）组成的集合：①对任意 x∈ [l， 2]，都有  （ 2x）∈（ 1， 2）；②存在常数 L（ 0＜ L＜ l），使得对 任意的 x1,x2∈［ 1，2］，都有丨  （ 2x1）－  (2x2）丨≤ L｜ x1 一 x2丨 （ I）设  （ x）＝ 31 x ,x∈「 2,4］ ,证明：  （ x）∈ A； （ II）设  （ x）∈ A，如果存在 x0∈（ 1， 2），使得 x0＝  （ 2x0），那么这样的 x0 是唯一的； （Ⅲ）设  （ x）∈ A，任取 x1∈（ 1， 2） ,令 xn＋ l＝  （ 2xn） ,n＝ 1， 2，„„，证明：给定正整数 k，对任意的正整数 p，成立不等式丨 xk+pxk|≤ LLk1 1 ｜ x1x2｜（答案：略，） （ 8）强调数学特点，关注数学实质 考试大纲的说明重申数学学科的特点是高度的抽象性，结论的确定性和应用的广泛性，并提出数学学科的特点应该成为高考数学命题的 基础，在命题中应该充分体现这些特点，才能充分发挥高考数学的选拔功能。 ① 概念性强 数学是由概念命题所组成的逻辑系统，概念是基础，数学当中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵。 这些特点反映在考试中就要求考生在解题的时候，要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系。 例 22 已知 f(x)= (3a1)x+4a,x1,是（ ∞， +∞）上的减函数，那么 a 的取值范围是（ ） logax (A)（ 0， 1） (B)(0, 31 ) (C)[71 ， 31 ） （ D） [71 ， 1） 这是年北京卷的一道考题．给出了一个分段函数，在 x小于 1 的是个一次函数，而在 x大于等于 1的时候是一个以 a为底的对数函数，然后题目给出函数在负无穷到正无穷整个实数集上是减函数，求参数 a 的取值范围．毫无疑问，此题考查每个同学都应熟悉的单调函数的概念，这道题放在卷子的第 5 题的位置上，是一道容 易题，考生下来也没有觉得这道题有什么难的地方．但没有想到这道题的得分率不足 0． 5，相对难度接近于一道难题，这是不是反映出我们在教学中，概念教学有弱化的现象， 11 例 23 在数列｛ an｝中，若 a1， a2是正整数，且 an＝ {anlan2}， n＝ 3， 4， 5，„，则称 {an}为“绝对差数列”。 （ 1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （ 2）若“绝对差数列”丨 an丨中， a20＝ 3， a21=0，数列｜ bn 丨满足 bn＝ an＋ an+1+an+2,n=1,2,3… ，分别判断当 n→∞时， an 与 bn 的极 限是否存在，如果存在，求出极限值； （ 3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项． 此题一开始就提出了一个教材和大纲里没有见过概念：绝对差数列，先给出了绝对差数列的定义，要求考生在理解这个定义的基础上，举出一个前五项不为零的“绝对差数列”来讨论他们无限变化的趋势。 最后再完成一个证明题，当然后面的两个题，要求是比较高的，但就教学来讲，这道题的题干和第一个问题是不是给我们一个启示：学数学，思考数学问题，概念是非常重要的。 ② 充满思辨性 这个特点源于数学的逻辑性，系统性和 抽象性．数学是思维型的学科，为了正确解答数学问题，要求考生具有一定的观察基础和推断能力． 例 24 三个同学对问题“关于“的不等式 x2＋ 25＋ |x3－ 5x2 丨≥ ax在［ 1， 12］上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路。 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 x的函数，做出函数图像”。 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，可得 a 的取值范围是＿＿＿， 这是上海卷的一道考题 ，这个题的情景设置不多见，提出问题之后，不是让学生马上做题，算出结论，而是给出了三种思路，让考生去辨析。 这一过程蕴含着怎样才是正确的思考和解决问题的原则：转化必须要保持与原来的问题等价；转化要使问题变得越来越简单，这三个思路中，甲是错误的，而丙虽然没有错误，但是不可取．用这样的情景设置的方式，强调了拿到题目以后，应该首先考虑怎样选择思路。 例 25 函数 f(x)= 191n |nx|的最小值为 ( ) (A) 190 (B)171 (C)90 (D)45 这是 一个难以与某一具体知识对上号的题目，题目的结构很简单：这是一个 x的函数，而函数的解析式是 19 个绝对值的和，要求确定这个函数的最小值．这个题目对中学生来讲，比较陌生，要求把握住求个函数的结构特点，然后通过简化，建立一个模型，找出规律，最后解决问题不是让学生机械照搬某种题型和固定的模式去解题。 ③ 量化突出 这里所说的量化，主要是要求学生在运算当中，考查对算理运算法则的理解程度、灵活运用的能力，以及准确严谨的科学态度。 例 26 已知向量 a≠ e， |e|=1，对任意 t∈ R，恒有丨 ate 丨≥丨 ae 丨 ,则（ ） （ A） a⊥ e (B) a⊥ (ae) (C) e⊥ (ae) (D) (a+e)⊥ (ae) 有些资料是这样分析的：四个选项要求判断向量之间的垂直，为了判断向量之间的垂直关系，必须提供数量积为零的条件。 但题目没有数量积的已知条件，因此将这两个向量长度的大小关系各自取平方，进而导出向量的数量积，这一思路，学生可以理解，但按照这个思路，后续的运算量就成了典型的“小题大做”．把握这个不等关系的实质，首先要理解 t 和向量 e 数乘的几何意义，从而归结为线外一点与直线上各点 的连线中，丨 a 一 e 丨最短，只有 a 一 e 才是向量 e所在直线的垂线．不能只从计算的角度去认识它，而要考虑它隐含的几何特征，这个题的得分率很低．原因就是学生在看到这种题之后，觉得跟熟悉的题型不一样，就不知道应该从什么地方下手。