量子力学的矩阵形式及表示理论(编辑修改稿)

量子力学的矩阵形式及表示理论(编辑修改稿)内容摘要：

1z iTT,J    x1y1z iTT,J  现求  x12 T,J       JT,JT,JJT,J x1x1x12  yz1zy1y1zz1y JiTJiTTiJTiJ  x1z1yy1z T2TiJ2TiJ2        JT,JT,JJT,J y1y1y12  zx1xz1x1zz1x JiTJiTTiJTiJ        JT,JT,JJT,J z1z1z12  xy1yx1y1xx1y JiTJiTTiJTiJ  ∴   x122 T,J,J zx1zxz1zx12zz1xz JTJJTJTJTJJ[2   x12xy1yyx1yy1xyx12y T,J2]JTJJTJTJJTJ  y1zxz1zx12zy1z TJiJTJ2TJ2TiJ[2   x12xy1yz1yz1yx12y T,J2]JTJ2TJiTJiTJ2   ]JTJ2TJ2J)TJTJTJ(2T)JJJ(2[2 xx1xx12xxz1zy1yx1xx12z2y2x   x12 T,J2 ]T,J[2]J)TJ(TJ[4 x12xx12  ∴ 0jm]T,J[mj2jmJ)TJ(mj4jmTJmj4 x12xx12  即 jj1xx1 )1j(j jm)TJ(JmjjmTmj   同理有 15 jj1yy1 )1j(j jm)TJ(JmjjmTmj   jj1zz1 )1j(j jm)TJ(JmjjmTmj   从而有 mMm)1j(j jm)TJ(JmjjmTmj jj1MM1    （ 5）投影算符 这里简单介绍一下投影算符，它是一极有用的工具，涉及一系列概念：子空间，子空间正交系等等，这里仅给出最简单的定义。 A．定义 ：若厄密算符 Pˆ 有性质 PˆPˆ2 ，则称该算符为投影算符。 具体看一个例子。 若 nLnLˆ n （ nnnn  Innn  ）  n nn  n nPˆ nnPˆn  就是一投影算符。 事实上， nn)n()n()nn(Pˆ n   nnnnPˆ 2n  nn nPˆ 它将任何一个态的某部分抛投出来，而态的这部分恰恰是 Lˆ 的本征值为 nL 本征态。  nnPˆn nn （或者说， nPˆ 将空间所有态都投入到态 n 上） 16 显然 nnPˆ 00nnn 也是一投影算符。 它将任一态中相应于本征值为0nL—0nL所相应的本征态分量抛投出来。 也可说，将所有的态都投入到这样一些态的子空间中，成为这些态的线性组合。   nnPˆ 00nn 但可以证明 nnaPˆ 00nn n 就不是投影算符（若 na 不全为 1） B. 任何－投影算符的本征值都是 0 和 1 若 P 是 Pˆ 的本征态，本征值为 P , 则 PPPPˆ  PPPPˆPPPPˆ 22   0P)PP( 2   P 不是零矢量，  0PP2   0P 或 1 而任何一个态矢量都可以按 Pˆ 的基矢展开  )PˆPˆ1(  Pˆ)Pˆ1( 由 0)PˆPˆ()Pˆ1(Pˆ 2  所以，若  )Pˆ1( 不是零矢量，那它是 Pˆ 的本征值为零的本征矢。 当然， 若 0)Pˆ1(  ，那  就是 Pˆ 的本征值为 1 的本征矢。 由 )Pˆ(Pˆ)Pˆ(Pˆ 2  所以，若 Pˆ 不是零 矢量，那它是 Pˆ 的本征值为 1 的本征矢。 当然，若 0Pˆ  ， 17 那  就是 Pˆ 的本征值为 0 的本征态。 若 Pˆ ，  )Pˆ1( 都不是零矢量，那 Pˆ 和  )Pˆ1( 是正交的。   )Pˆ1(Pˆ 0PˆPˆ 2  167。 表象变换，幺正变换 （ 1）同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态  在 Fˆ 表象中，其表示为 nfn af  nnn fffFˆ   nn n ff 即 nfn n af 在另一表象 Gˆ 中其表示为  mg gbm 于是，  nf fan  mm mn ggf mmn gm gf bS mngfS是将态矢量在 F 表象中的表示，变换到 G 表象中表示的变换，（或 F 表象中的表示以 G 表象中的表示来表出） 写成矩阵形式 212221121121bbSSSSaa 即 GF Sba  在 F 表象中表示 gf 在 Gˆ 表象中表示 S 矩阵的矩阵元正是 F 表象基矢与 G 表象基矢的标积，其第 l 列，是 Gˆ 算符的第 l 个基矢在 F 表象中的表示。 18 nmm mnm fggfff fggfSS)SS( nmmnnn     nn ffnn ff   mmmm ggmmmnn nmgg gggffg)SS(     因此， Sˆ 是一个幺正算符。 同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。 （ 2）两表象的基矢之间关系 m nmmn fggf  m fgm nmSg 所以， 基矢的变换是经 S 来实现     * gf* gf* gf* gf2121 22211211SSSS,g,g,f,f   2212 2111 fgfgfgfg21 AAAA,g,g * gfnm*mnfg mnnm SfggfA  . （ 3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系 与态矢量一样，在不同表象中，力学量的矩阵表示是不同的 . 它们之间的关系也是幺正变换（即由幺正算符进行相似变换） 对于算符 Lˆ 在 F 表象中的矩阵表示为 nmmmm,m mnnn fggLˆggffLˆf   nmmmmn fgggm,m gf )S()Lˆ(S   即  SLˆSLˆ Gf mngf gfSmn  总结： F 表象 G 表象 对同一波函数在不同表象中表示 nfa mgb 19 则 mm mnn gg gff bSa  基矢 nmmn fgm gf )S)(r()r(   力学量 nmmmmm mnnn fggggg gfnnff )S(LˆSfLˆfLˆ    （ 4）幺正变换 设： Uˆ 是一线性算符，有逆算符 1Uˆ 对某一力学量 Lˆ 进行－相似变换 得 1UˆLˆUˆLˆ  即 LˆUˆUˆLˆ  A． 对每 一算符 Lˆ 有与 Lˆ 同样的本征值 nLnLˆ n nUˆLnUˆUˆLˆUˆ n1  )nUˆ(L)nUˆ(Lˆ n Lˆ 与 Lˆ 有同样的本征值 nL ，而本征函数为 nUˆ 例： mmmLˆ z  为单位）以（ zLˆ ，则 mee yz LˆiLˆi  是  c osLˆs ins inLˆc oss inLˆLˆ zyxn 的本征函数，本征值为 m 证：  zy LˆiLˆi ee 是  yz LˆiLˆi ee 之逆算符。  mee yz LˆiLˆi  是  zyyz LˆiLˆizLˆiLˆi eeLˆee 的本征函数，本征 值为m。  yy LˆizLˆi eLˆe 2zyy2zyz ]]Lˆ,Lˆ[,Lˆ[)i(!21]Lˆ,Lˆ[iLˆ   3zyyy3 ]]]Lˆ,Lˆ[,Lˆ[,Lˆ[)i(!31  3x2zxz Lˆ!31Lˆ!21LˆLˆ  sinLˆc o sLˆ xz 20 而   zz LˆizLˆi ec。