第六章量子力学导论(编辑修改稿)

第六章量子力学导论(编辑修改稿)内容摘要：

fi 间有 n 种可能的跃迁方式，则跃迁几率幅是各种可能发生的跃迁几率幅之和。 即 n nifif（ 几率幅叠加规则 ，为态的叠加的一种表述。 费曼称其为“量子力学第一原理”。 它是一条基本原理，至今无法从更基本的观念将其导出 ） 规则 2：假如在 fi 间有 n 个独立的末态，则跃迁几率等于到达各末态的跃迁几率之和。 即 n nifif 22 （ 独立事件的 几率相加律 ） 规则 3：假如在 fi 间有一中间态，则跃迁几率幅等于分段几率幅之积。 即 ivvfif  规则 4：假如一独立体系中的两 个粒子同时跃迁，则体系的跃迁几率等于 两粒子几率幅之积。 即 （规则 4均系 独立事件的几率相乘律 ） （此略） 第三章 量子力学导论 第 10 页 共 23 页 10 167。 35 薛定谔方程 薛定谔在其导师德 拜 (“有了波，就应有一个波动方程 ” )的启示下，提出 了关于物质波的 波 动方程。 这一方程不能从 更 基本的假设中推导出来，它是量子力学的基本方程 ，其正确性只能靠实验检验。 设一个非相对论自由粒子的质量为 m，动量为 p，在势场 )(xV 中作一维运动，则粒子的能量为)(2 2 xVmpE  利用   kp hE  （波矢2k）， 将上式写为： )1()(2 )( 2  xVmk  自由 粒子的波函数 可 写成平面波形式 [(1)式 在 0)( xV 的 ]： )2(),( )(0 tkxietx   任 务 ：找到与 )(2 )( 2 xVmk   一致的方程，且在 0)( xV 时得到它的 解 （ 2）。 从波函数知：2222 pxpxiEti 当 0)( xV 时，有 0)2()2( 2222   mpExmti  或者： 2222 xmti   当 0)( VxV  (常数 ) (即 不存在作用力 )时， 式 （ 2） 是方程 tiVxm   02222 的解，且与 式 （ 1） 一致。 推广到一般的势场 )(xV ， 即得 一维 薛定谔方程 ： )3()(2222  tixVxm   将其与经典关系式 )(2 2 xVmpE  比较，知作了如下变换：xiptiE然后作用到波函数 上即得 式（ 3）。 薛定谔方程的一般表达式 ： )4(),(),()](2[ 22  trtitrrVm   第三章 量子力学导论 第 11 页 共 23 页 11 当 势场 0)( rV  时的自由粒子的解为： )5(),( )(0   trkietr   将其与经典关系式 )(2 2 rVmpE   比较，知作了如下变换： )6(iptiE 薛定谔方程是量子力学的基本方程。 事实上，可把式（ 4）、（ 5）、（ 6） 视为量子力学的基本假设。 ： 当 )(rV 不显含时间 t时，用分离变数法对薛定谔方程 （式 4） 求特解即得。 将波函数写成： )()(),( tTrtr    并代入 式（ 4） 后 两边除以 T 得 ： dtdTTirVm    )](2[1 22，于是有)8()7()](2[1 22EdtdTTiErVm  式中， E是与 r、 t无关的分离常数，具有能量的量纲。 式（ 8）的解为 iEteTT 0。 若把常数 0T 归到  的常数中，则 )9()(),(  iE tertr   由此得到 定态薛定谔方程： )10()](2[ 22   ErVm  解薛定谔方程的步骤：首先分区建立方程， 求出 其通解，然后再根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数。 例 (or:无限高势垒； 如右图示 ) 在一维无限深势阱中运动的粒子势能为   dxx dxxV ,0,0,0)( 在势阱内，体系满足的薛定谔方程为 02222   Edxdm 令22 2mEk ，则方程可改写为：  222 kdxd  此方程的解为（ 波函数为正弦函数 ） ： )sin(   kxA 因 0)0(  ，故 0 ； 因 0)( d ， 故 ,2,1,  nnkx 。 进而有 dnk  第三章 量子力学导论 第 12 页 共 23 页 12 于是有： 为正整数nmdhnEdxnAxnn,8s in)(222  常数 A可用其归一化条件确定：d xndψdxψ nn s i n212 ，此即归一化波函数。 粒子出现的几率： n=1 时为 2nψ ，极大值出现在中间； n=2 时 2nψ 在中间为 0，两旁各有一个极大。 可见，粒子的确切位置是用经典语言无法 描述 的。 例 2： 一维有限势阱 在一维有限深势阱中运动的粒子势能 为：220dx,Vdx,V(x)d 在阱内的解已由例 1给出。 在阱外，体系满足的薛定谔方程为 ψCψE)m (Vdx ψd d 2222 2  。 其中，22 2  E)m(VC d 。 方程的解 指数函数，由波函数的有限条件可得以下两个解 ：22d,xeAd,xeAψ (x)CxCx 可见， 在 dVE 时，粒子有一定几率出现在阱外， 粒子的动能在势阱边界发生变化，而动能的变化相当于波长的变化，说明粒子在阱的边界既有反向又有透射， 这 与经典物理观点的根本差异。 例 (方势垒的贯穿 )  210210 xx,xV x,xx,xV (x ) 利用一维定态薛定谔方程 分区域求解 0][2 222  ψEV (x )mdx ψd  在区域 1， V=0， 方程为 21222 2 kψmEdx ψd   ,其中 Emk221 2 其解是正弦波： )(sin 1111   xkA , 第三章 量子力学导论 第 13 页 共 23 页 13 在 区域 2， EVV  0 ，方程为  220222 )(2 kEVmdx ψd   , E)(Vmk 0222 2 其解是指数函数： xkeAψ 222  在区域 3，与区域 1类同，其解为正弦波： )(sin 3133   xkA 解中有关常数由波函数的连续条件和归一化条件决定。 可见， 区域 1 的粒子有可能经区域 2 进入区域 3，其 贯 穿几率为 D22 0E)m(VeP  ，势垒厚度 ( 12 xxD  )越大，粒子能量 E 越小，粒子贯穿 几率越小。 D 和 E 的变化对贯穿因子 P 十分灵敏。 伽莫夫首先导出这一关系式，并用于解释原子核发生  衰变的实验事实。 *隧道显微镜简介： （详见教材 ） 例 一维谐振动的能量 22 22 kxmpE  ，其中 22kxV ， k为振子的弹性常数。 在经典物理中，谐振子的运动是正弦运动， )sin(0   txx。 能量为 2021kxE，角频率为mk， 0x 为粒子动能为 0时的位置 (转折点 )。 量子力学中，对于 221)( kxxV  的薛定谔方程为： )()(21)(2 22222 xExxmxdxdm    此非常数微分方程仍有精确解： )(!2)()21(222yHenxnEnxnn 式中 xmy， )(yHn 为厄密多项式 (详见教材 )。 可证明，能级间的跃迁服从 1n 的选择规则。 小结： 谐振子的三个特点 1) 有零点能。 (非谐振子特有 ；可从不确定关系得到 ) 2) 能量间隔相同 (等距 )。 (主要特点 ) 3) 跃迁只能逐级进行。 第三章 量子力学导论 第 14 页 共 23 页 14 后两个特点合起来则表示各跃迁都发出频率相同的辐射，实验中只能测到一条谱线。 谐振子和方阱势较简单且有精确解，常被理论计算作为第一级近似的 出发点。 如高速电子在晶格中的运动，假定它受到一个谐振子势的作用，与实测辐射谱比较。 若实测到一个频率 (一个能量 )的谱线，说明电子受到的确是谐振子势，否则就不是。 依照其偏差对理论 做出 修正。 *167。 36 量子力学中的一些理论和方法 由于量子力学的基本规律是统计性的，  只具有几率的含义，因此对于任何物理量，只有求出与它对应的平均值后，才能与实验中观察到的量相比较。 显然， *2   相当于空间的几率分布。 在经典物理中 ， 欲求任意函数 )(xf 在 x 定义域 ),0( l 范围的平均值。 权重 均值为：lldxxPdxxPxfxf00)()()()(。 定义域内的几率分布 )(xP 满足归一化条件： 1)(0 l。