第三章中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道，导致(编辑修改稿)

第三章中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道，导致(编辑修改稿)内容摘要：

版。 洛必达豁达大度，气宇不凡。 由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。 从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。 第三节 泰勒公式 对于一些比较复杂的函数 ,为了便于研究 ,往往希望用一些简单的函数来近似表达 . 多项式函数是最为简单的一类函数 ,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算 ,就能求出其函数值 ,因 此 ,多项式经常被用于近似地表达函数 ,这种近似表达在数学上常称为 逼近 . 英国数学家泰勒（ Taylor. Brook, 16851731）在这方面作出了不朽的贡献 . 其研究结果表明 : 具有直到 1n 阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的 n 次多项式近似表达 . 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用 . 本节主要内容 1 问题 2 泰勒中值公式 讲解提纲： 一、 问题： 设 函数 )(xf 在含有 0x 的开区间 (a, b)内具有直到 1n 阶导数 , 问是否存在一个 n 次多项式函数 nnn xxaxxaxxaaxp )()()()( 0202020   () 使得 )()( xPxf n , () 且误差 )()()( xpxfxR nn  是比 nxx )( 0 高阶的无穷小 ,并给出误差估计的具体表达式 . 二、泰勒中值公式 202000 )(!2 )())(()()( xxxfxxxfxfxf  )()(! )( 00)( xRxxn xf nnn   () 拉格朗日型余项 10)1( )()!1( )()(   nnn xxnfxR  () 皮亚诺形式余项 ].)[()( 0 nn xxoxR  () 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式 )(! )0(!2 )0()0()0()( )(2 nnn xoxnfxfxffxf   () 从公式 ()或 ()可得近似公式 nn xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()( )(2   () 误差估计式 ()相应变成 9 nn xnMxR ||)!1(|)(|  () 例题选讲： 直接展开法 ： 例 1 按 (x4)的幂展开多项式 435)( 234  xxxxxf . 解： 432 )4()4(11)4(37)4(2156)(  xxxxxf 例 2 求 xexf )( 的 n 阶麦克劳林公式 . 解： xn exfxfxf  )()()( )(39。 39。 39。  所以 1)0()0()0( )(39。  nfff  得 12)!1(!!21  nxnx xn enxxxe  常用初等函数的麦克劳林公式 ： 12 )!1(!!21  nxnx xn enxxxe  )()!12()1(!5!3s i n 221253   nnn xonxxxxx  )()!2()1(!6!4!21c o s 22642 nnn xonxxxxx   )(1)1(32)1l n ( 1132   nnn xonxxxxx  )(11 1 2 nn xoxxxx    2!2 )1(1)1( xmmmxx m 简介展开法 ： 在实际应用中 , 上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些更复杂的函数的麦克劳林公式 , 以及求某些函数的极限等 . 例 3 求函数   xxexf  的 n 阶麦克劳林公式。 解： )()(,),2()(),1()( )(39。 39。 39。 nxexfxexfxexf xnxx   则)!1( 1! )0(,)0(,2)0(,1)0(,0)0( )()(39。 39。 39。  nnfnffff nn 因此 )()!1( 1!31!21 432 nnx xoxnxxxxxe   例 4 求 )]1ln ([co slim2202xxx exxx   解 )]1ln ([co slim 2202xxx exxx   10 = )](2/1([ )]()2(21211[)](!41211[l i m 22242224420 xoxxxxxoxxxoxxx  = 6/12181241 课堂练习 1. 利用泰勒公式求极限 x xxxx 30 sin cossinlim . 泰勒 （ Taylor, Brook， 1685~1731）简介： 泰勒 (Taylor,Brook)英国数学家。 1685 年 8 月 18 日生于英格兰德尔塞克斯郡的 埃德蒙顿市； 1731 年 12 月 29 日卒于伦敦。 泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。 父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭。 泰勒是长子。 进大学之前，泰勒一直在家里读书。 泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。 这时泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来。 1701 年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。 1709年，他获得法学学士学位。 1714 年获法学博士学位。 1712 年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微 积分优先权争论的委员会。 从 1714 年起担任皇家学会第一秘书， 1718 年以健康为由辞去这一职务。 泰勒后期的家庭生活是不幸的。 1721 年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭。 两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725 年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于 1729 年继承了父亲在肯特郡的财才。 1730年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。 妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在伦敦圣 .安教堂墓地。 由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国 并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。 1708 年， 23 岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。 从 1714 年到 1719 年，是泰勒在数学牛顿产的时期。 他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于 1715年，它们的第二版分别出于 1717 和 1719 年。 从 1712 到 1724 年，他在《哲学会报》上共发表了 13篇文章，其中有些是通信和评论。 文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。 在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后由外孙 1793 年出版。 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。 这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。 然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。 这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。 泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。 11 麦克劳林（ Maclaurin, Colin， 1689~1746）简介： 麦克劳林（ Maclaurin,Colin）是英国数学家。 1689 年 2 月生于苏格兰的基尔莫登； 1746年 1 月卒于爱丁堡。 麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父， 9 岁丧母。 由其叔父抚养成人。 叔父也是一位牧师。 麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他 11 岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。 17 岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩； 19 岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员； 17221726 年在巴黎从事研究工作，并在 1724 年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授。 1719 年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。 1724 年，由于牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。 麦克劳林 21 岁时发表了第一本重要著作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。 1742 年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。 此书之意是为牛顿流数法提供一个 几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。 麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。 他不但学术成就斐然，而且关于政治， 1745 年参加了爱丁堡保卫战。 麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。 他曾打算写一本《关于伊萨克 .牛顿爵士的发现说明》，但未能完成便去世了。 死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。 第四节 函数单调性与曲线的凹凸性 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这 些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性 . 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法 . 本节主要内容 1 函数的单调性 2 曲线的凹凸性 3 拐点 讲解提纲： 一、函数的单调性 ：设函数 )(xfy 在 [a, b]上连续 , 在 (a, b)内可导 . (1) 若在 (a, b)内 0)(  xf , 则函数 )(xfy 在 [a, b]上单调增加。 (2) 若在 (a, b)内 0)(  xf。