第22讲理想(编辑修改稿)

第22讲理想(编辑修改稿)内容摘要：

明示 N 是 幺 环 R 的理想 ,且 RNNR  .1 . 结论 21,NN 都是环 R 的理想 .那么 },|{ 2121 NbNabaNN  △ 也是 R 的理想 ,叫做 1N 与 2N 的和理想 . 证明 :   212111 ,}|0{ NNNNNaaN △ . 212211 , NNbaybax  .则 2121212211 )()()()( NNbbaababayx  又若 ,Rr 则有 21112111 ,., NrbNraNrbNra  211111 )( NNrbrabarrx  211111 )( NNrbrarbaxr  由理想的定义知 RNN 21  ,习惯上称 21 NN 为理想 1N 与 2N 的和 . 类似地 ,可以考虑 :当 21,NN 都是 R 的理想时 . 21 NN 和 },|{ 2121 NbNaabNN  会是理想吗 ?事实上 ,因为它们对加法都未必封闭 ,所以都不一定能成为理想 .但若这样定义 : },|{ 21221121 为自然数nNbNabababaNN iinn   可以验证 RNNˉ21,通常称 21NN 为 1N 与 2N 的积理想 . 结论 , IiRNi  ,那么  Ii i RN. 二 .主理想 (1)由子集生成的理想 设 RS ,而 R 为任意环 ,设 ASRAA  且 .由结论 3 知A A 必是 R 的理想 .叫做子集 S 生成的理想 ,记为 )(S .易知 , )(S 是 R 中包含 S 的理想中最小的一个 .S 称为 )(S 的生成子集 . 当 },{ 21 naaaS  是一个有限集时 .虽然 ),()( 21 naaaS  当}{aS 时 ,那么 )()( aS  就是下面要研讨的内容 . (2) 定义 R 中一个元素 a 生成的理想 )(a 叫做主理想 . 为了弄清主理想的结构 ,我们有 结论 R 为任意环 , Ra 则 },,|{)( 39。 139。 ZnNnRtsyxnaatsaayxa iini ii   证明 :由于 Ra)( .那么 atsaayx ii , 和    n aaana 都应在 )(a 中 ,(∵吸收律和加法封闭性 ).再用加法封闭性   39。 1 )(ni ii antatsaayx 。