第17讲交换律、单位元、零因子、整环(编辑修改稿)内容摘要：

没有左零因子 . 0 cb (否则 a 就成了左零因子 )即 cb 由 cba , 的任意性 R 中满足左消去律 . )( 设 Ra0 ,如果 0ab 显然 0aab ,∵ 0a 由左消去律 0b ,这说明 a 不是左零因子 .由 a 的任意性 R中没有左零因子 . 关于 (2),同理可证 . 利用左 ,右零因子的“共存亡”的性质 .可知 推论：设 R 是环，那么下列条件是等价的： ① R 中没有左零因子；② R 中没有右零因子；③ R 中 满足 左消去律；④ R 中 满足右消去律 . 说明 : ④②①③ 定理“共存亡”定理  若 R 是环 ,而含 }.0|{  aRaR ,于是 ,可用 R 的性质来刻划 R 是否有零因子 . 结论 :R 是无零因子环 },{ R 是半群 . 证明 :R 是无零因子环 ),.(0,0  Rbaba ,都有 0ab 即   RRab 是封闭的 R 是半群 例 3. 在 n 阶矩阵环 )2(),( nFM n 中 .若 ).(FMA n 那么 A 是左 (右 )零因子 0A . 证明 : )( 若 A 是左零因子 . ).(0 FMB n 使 .0AB 如果  00|| BA . 0|| A )( ∵ 0|| A ,构造地个齐线性方程组 . ( * )00021 　　　nxxxA 第 4 页 共 6 页 由方程组的性质 (*) 有非零解 . 02 n1ccc 即 021ncccA ,令 )(00000021FMcccB nn　　　　　　  0021Bcccn 且 0)00,00,(21  AAccAAB  A 是零因子。 例 4. 剩余类 mZ 是无零因子环 m 为素数。
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