x射线晶体学第2章

x射线晶体学第2章内容摘要：

及其符号 对称元素 一次 二次 三次 四次 六次 对 称 心 对 称 面 三次 四次 六次 旋转轴 反伸轴 习惯记号 C1 C2 C3 C4 C6 i m I3 I4 I6 国际符号 １ ２ ３ ４ ６ 1 m 3 4 6 投影记号 176。 C 相当的对称元素或其组合 C3+C2 I1 S2 I2 S1 C3+i S6 S4 C3+m S3 第二章（之二） 167。 2．３ 对称元素的组合 就数学上的意义而言，空间任意的对称变换就构成了所谓“群”，对称操作的集合叫做 36 对称操作群，相应的对称元素的集合叫对称元素群，二者概称为对称群。 至少相交于一点的宏观对称元素所构成的群，叫点群。 在作为有限图形的结晶多面体中，它只能具有宏观对称元素，而且必须至少有一共点。 晶体的点群 ，就是该晶体所具有的全部对称元素的总和，或叫集合。 晶体可以只存在平移对称性而不存在其他任何对称性（除了 C1），可以只存在单一的对称元素，也可以同时存在若干个对称元素。 数学上对称元素的组合可以有无穷多方式，而在晶体中，它们的组合却不能是任意的，而是要受到周期排列的点阵结构的限制。 （１） 晶体周期性排列的点阵结构，对称元素的安置必须符合点阵结构的对称性。 （２） 晶体是有限图形的，所有对称元素都必须至少有一个共点，并且不允许包含平移操作或平移分量。 （３） 对称元素的组合必须遵循对称元素组合定理。 由于这些限制，晶体中所可能有的对 称元素组合方式不是无穷多，而是只有３２种。 这就是晶体的３２个点群。 167。 2．３．１ 对称元素的组合定理 在晶体中，任意两个对称元素的组合，必将导致产生第三个新的合成对称元素。 新的对称元素的作用等于原来两个对称元素连续作用的积。 例如，在对称面上加上一个对称心， A经 m 作用后得 A’ A经 i作用后得的 B A’经 i作用后的 B’ 这样，由 A←→ B’及 A’←→ B 可以看到，它们中间 存在一个垂直于 m 的 C2，即 m178。 i=C2 下面我们来讨论对称元素组合的规律 —— 对称元素 组合定理。 167。 2．３．１．１ 定理一． Euler（欧 拉）定理 通过任意二相交旋转轴的交点， 必可找到第三个新的旋转轴，其作用 等于前二者之积；其轴次及其与原始 旋转轴之间的交角，取决于二原始旋 转轴的轴次及它们之间的交角。 Cm179。 Cn(δ )=Cq 证明：见图２ .17 的图解，设 OA, OB 为相交于 O 点的两个原始旋转 轴，交角 δ， OA的基转角为 α ， OB 的基转角为β。 现有通过 O点的另一直线 OC， 它和 OA交角为 γ ’，和 OB 交角为 γ ”。 假定它所处的位置刚好满足 如下要求：当 OB顺时针旋转 β 角时， OC被带到 OC’。 当再以 OA为轴顺 时针转过 α角后，恰 好被带回 OC。 这样，转动 OB，则 OC转到 OC’；再转动 OA， OC’又转回到 OC，而且 OB 被转到 OB’。 经过 OA和 OB 连续两次旋转的结果， OC 保持原位不动，只有 OB 转到 OB’。 但是 = = 37 因而 OB→ OB’ 这一移动可以由以 OC为轴，旋转 ω 角来完成。 所以， OC 是 OA和 OB 相交在 O 点产生的第三个旋转轴，其作用等于 OA和 OB 两个原始旋转轴作用之积。 OC 轴的基转角为 ω OC 和 OA的交角为 γ ’ OC 和 OB 的交 角为 γ ” 由球面三角公式得： ［１］ cos2= cos2 cos2－ sin2 sin2cosδ cosγ ’=2sin2sin2c os2c os2c os  cosγ ” =2sin2sin2c os2c os2c os  一般情况下，通过 O 点且与 OA 及 OB 相交 γ ’， γ ”角的直线一共可有两条，它们对称地分布于 AOB 平面的两侧（相当于图中的 OC 和 OC’）。 因此，严格地说，通过任何两个相交的旋转轴的交点，可能产生的新旋转轴，不是一个，而是一对。 这实质上是因为，两个对称元素 Em 和 En相乘时，一般是不能交换的。 即 Em179。 En≠ En179。 Em。 若 E1=Em179。 En,E2=En179。 Em，则 E E2都是 Em、 En 组合的新对称元素。 在特殊条件下， E1 和 E2才能重合为一。 推理： m次轴和 n次轴相交，必得 m个 n次轴， n个 m次轴，且二相临的 m次轴与 n次轴之间的交角均等于原始的二轴之间的交角。 定理二。 通过两个二次轴的交点并与它们垂直的直线恒 为一旋转轴，其基转角是原来两个二次轴交角的两倍。 证明：给定条件为α =β=180176。 根据欧拉定理，有 cosγ ’=cosγ ”=2s in90s in2c o s90c o s90c o s =0 ∴γ ’=γ”=90176。 同时， cos2 = cos290176。 sin290176。 cosδ =cos(180 δ) ∴ω =2(180δ)=360 2δ= 2δ 推理：如有一个二次轴垂直于一个 n次轴，则必有 n个二次轴同时垂直与此 n次轴，且相临两个二次轴的交角等于 n次轴基转角的一半。 定理三。 二个对称 面的交线必是一个旋转轴，其基转角等 于该二对称面交角的两倍。 证明：对称面是二次反伸轴，给定条件与定理二相同，所 以其证明也相同。 因反伸两次，反反得正，所以必为一个 ［１］ 证明请参考南京大学“结晶学”下册，第 515 页 球面三角公式： cosA=cosBcosC+sinBsinCcosα。 cosα=cosβ cosγ +sinβsinγcosA 38 正旋转轴 推理 若对称面上有一个 n次轴，则必有 n个对称面交于 次轴，且相临二对称面的交角是 n次轴基转角的一半 定理四 通过二次轴和对称面的交点，并垂直该二次轴的直 线，必为一个反轴，其基转角是二次轴和对称面交角的两倍。 证明同定理三。 但是这里是一个旋转轴和一个反轴，合成轴 必为反轴。 推理 一个二次轴，垂直一个 n 次反轴，当 n=奇数时，必有 n 个共点的二次轴垂直此 n 次反轴，同时有 n 个共线的对称面包含 此 n 次反轴。 如 3 179。 ２ ⊥ 当 n＝偶数时，则有2n个共点的二次轴垂直于此 n 次反轴，同 时有2n个共线的对称面包含此 n 次反轴，如 4 179。 ２ ⊥ ＝ D2d4 2m 以上两种情况，相临二次轴和对称面的交角等于 n次反轴基转角之半的余角，即 90176。 n2360 定理五 一个二次轴垂直一个对称面，其交点必为对称心。 证明：对称面的法线即二次反轴，按条件，就是二次轴和二次反轴重合， α =β=180176。 ,δ=0176。 ∴ cos2 =cos290176。 sin290176。 cos0176。 =1 ∴ω =0176。 ∵一正一反得反，一次反轴即对称心 推理一 偶次轴，垂直的对称面，对称心，三者之中 任意二者的组合必得第三者（但 i179。 m 只能得 C2） 推理二 当有对称心存在时，偶次轴的个数必等于对 称面的个数，且每一偶次轴各自垂直一对称面。 对称元素的组合定理简要归纳如下： 定理一 Cm179。 Cn=Cq，当 m= 360 ， n=360， q= 360 时，有 cos 2 = cos 2 cos 2 － sin 2 sin 2 cos 定理二 C2179。 C2(δ )=Cn (n= 2360 ) 推理 Cn179。 C2(⊥ ) → Cn,n个 C2 （衍生 n个２） 定理三 m179。 m(δ )=Cn (n= 2360 ) 推理 Cn179。 m(∥ ) → Cn,n个 m （衍生 n个面） 39 定理四 m179。 C2(δ )=Sn （ n=)90(2 360） 推理 Sn179。 C2(⊥ )=Sn179。 m(∥ ) → Sn， n个 C2， n个 m（ n为 奇数） Sn179。 C2(⊥ )=Sn179。 m(∥ ) → Sn，2n个 C2，2n个 m（ n为偶数） 定理五 C2179。 m(⊥ )=i 推理一 Cn179。 m(⊥ ) → Cn， m， i (n=偶数 ) 推理二 Cn179。 i → Cn， m， i (m⊥Cn,n =偶数 ) m179。 i → Cn， m， i (C2⊥m) 167。 2．３． 2 二任意轴交角的可能值 一．两个同次轴之间的可能交角 设 OA， OB 为相交于 O 点的两个相同 的 n 次轴 （见图 2． 18），其基转角为 α n， 且 O， A， B 均为点阵点， OA =OB ， OA 绕 OB 旋转 α n得 OC， OB绕 OA 旋转 α n得 OD。 显然， OA =OB =OC =OD ，即 C， D 也是点阵点，而且 AD ＝ AB ＝ BC ，这样， A，B， C， D 四点共面。 设 OA， OB 之间夹角为 δ n，则 OC 和 OB 之间的交角也应为 δ n， △ ABC 为等腰三角形，所以 ∠ OBC=90－ 2n。 作一平面，垂直 OB，且包含 A和 C，平面截 OB 于 E点，（见图２． 19），则 ∠ AEC＝ αn 令∠ ABC＝ δ ，在等腰三角形 △BAC 中 ,sin2 =BCAC2 在等腰三角形△ EAC中 ,sin 2n =ECAC2 在直角三角形 △ EBC中， cos 2n =sin(90176。 2n )=BCEC ∴ sin 2 =sin 2n cos 2n „（２ .２） 和以前证明晶体中不能有 C5的情况一样，δ 的可能值要受点阵结构的限制，即 CD ＝ N178。 AB (N 为整数 ) ＝（ 1－ 2cosδ） AB 40 ∴ cosδ ＝21 N＝2M 可见，δ的可能值只有 0176。 ， 60176。 ， 90176。 ， 120176。 ， 180176。 代入（２ .２）式，得 α n 和 δ n 的关系式： δ＝ 0176。 sin2ncos2n＝ 0 δ＝ 60176。 sin 2n cos 2n ＝21 δ＝ 90176。 sin 2n cos 2n ＝ 22 „„（２ .３） δ＝ 120176。 sin 2n cos 2n ＝ 23 δ＝ 180176。 sin 2n cos 2n ＝ 1 OA， OB 的基转角是 α n，只可能有 0176。 ， 60176。 ， 90176。 ， 120176。 ， 180176。 ，逐一代入 ()式，即可得全部可能的 δ n 角 表２ .１ 两个同次轴之间的可能交角 δ n α n δ 180176。 n=2 120176。 n=3 90176。 n=4 60176。 n=6 0176。 n=1 0 180 180 180 180 任意值 60 120 109176。 28’ 90 0 90 90 70176。 32’ 0 120 60 0 180 0 表中互补的两个 δ n 值，实际上只能作为一个可能值，所以 δ n 仅有四个可能值，即 90176。 ， 70176。 32’ ， 60176。 ， 0176。 二．两个任意轴之间的可能交角 设 OA， OB 为相交于 O 点的两个任意轴，交角 γ。 OA 基转角 α m，是一个 m 次轴。 OB 绕 OA转过 α m后得 OB’，则 OB 和 OB’必为同种轴，其交角为 δ n。 参见图。 如同上节一样，不过这里的 γ相当于 图 90－ δ n/2， δ n相当于图 的 δ，α m相当于图 的 α n，我们可以得到 sinγ =2sin2sinmn „„„„ （ ） 41 δ n 的可能值已列于表２ .１， α m 的可能值只有 0， 60， 90， 120， 180，一一代入 ()式 ,即可求出任意两个轴之间交角 γ 的一切可能值。 见表２．２。 一切可能的组合方式综合于下： １． 同次轴以０ 176。 相交，即轴本身。 ２． 二次轴重合三，四，六次轴 三次轴重合六次轴 ３． 二次轴与二次轴以 30176。 ， 45176。 ， 6。