辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案第四章随机变量的数字特征

辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案第四章随机变量的数字特征内容摘要：

客在各个车站下车是等可能的并设各旅客是否下车相互独立）。 解 ： 引入随机变量 站有人下车，在第 站无人下车在第 i1 i,0x i=1,2,„， 10 易知 X=X1+X2+„„ +X10，现在来求 E（ X） 按题意，任一旅客在第 i站不下车的概率为 109 ，因此 20位旅客都不在第 i站下车的概率为 20109，辽宁石油化工大学 概率论与数理统计教案 在第 i站有人下车的概率为 1— 20109，也就是 P{X=0}= 20109， P{Xi=1}=1— 20109,i=1,2,„， 10 由此， E（ Xi） =1— 20109,i=1,2,„， 10 进而 E（ X） = E（ X1+X2+„„ +X10） =E（ X1） +E（ X2） +„„ +E（ X10） =10 [1— 20109]=（次） 本题是将 X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义。 例 12 设一电路中电流 I（ A）与电阻 R（Ω）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：      ,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，试求电压 V=IR 的均值。 解 E（ V） =E（ IR） =E（ I） E（ R） =    drrrhdiiig )()( = 2332 30310 2   drrdii。 （五） 一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p      2． 二项分布 ( , ) ( )X b n p E X np则 辽宁石油化工大学 概率论与数理统计教案 3． 泊松分布 ~ ( )X  ，则 ()EX 计算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K                       ＝ 4． 均匀分布 X～ U[ ,ab]，则 ()2abEX  5． 指数分布 X服从参数为  的指数分布，则 ()EX。 计算如下： 0000001( ) ( )()| ( ) |xxxx x xE X x f x dx x e dxxx e d x dex e e dx e                      6． 正态分布 X～ 2( , ), ( )N E X  则 这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 （六）小结 描述变量的平均值的量 — 数学期望 离散型 —— 若 X ～  kkP X x p 则 ()EX ＝1 kkk xp （绝对收敛） 连续型 —— 若 X ～密度函数 ()fx ，则 ()EX ＝ ()xf x dx （绝对收敛） 数学期望 ()EX描述随机变量 X 取值的平 均大小，要掌握数学期望的性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布的数学期望。 (七 ) 课堂练习 P139 1 15。 布置作业 P138 3， 10 辽宁石油化工大学 概率论与数理统计教案 167。 2 方差 教学目的： 使学生理解掌握随机变量的方差概念及性质，会计算具体分布的方差，熟记常见分布的方差。 使学生理解掌握方差的性质，能熟练计算具体分布的方差，进一步熟记常见分布的方差。 教学重点、难点 ： 方差的性质、具体分布的方差的计算。 随机变量的方差概念及性质、具体分布的方差的计算。 教学过程： 上节课，我们研究了随即变量的重要 数字特征 —— 数学期望。 它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。 但在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。 例如，某厂生产两类手表，甲类手表日走时误差均匀分布在 10~10 秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在 20~20 秒之间，易知其数学期望均为 0，即两类手表的日走时误差平均来说都是 0。 所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。 由此可见，我们有必要研究随机变量取值与其 数学期望值的偏离程度 —— 即方差。 （一） 方差的概念 定义 设 X 是一个随机变量，若  2[ ( )]E X E X 存在，则称  2[ ( )]E X E X 为 X 的方差，记为 ()DX或 ()Var X。 即 ()DX  ()Var X   2[ ( )]E X E X。 并称 ()DX 为 X 的 标准差或均方差。 随机变量 X 的方差表达了 X 的取值与其均值的偏离程度。 按此定义，若 X 是离散型随机变量，分布律为   , 1, 2 ,kkP X x p k  „ ,则 21( ) [ ( ) ]kkKD X x E X p 若 X 是连续型随机变量，密度函数为 ()fx，则 2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x 辽宁石油化工大学 概率论与数理统计教案 方差常用下面公式计算： 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X 事实上 ()DX   2[ ( )]E X E X  222 ( ) ( )E X X E X E X   2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X E X E X E X E X E X     例 1 设随机变量 X 具有数学期望 ()EX ，方差 2()DX  0 ， 记 xX  ，则 ( ) 0 , ( ) 1E X D X 解 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E X     。 2 2 22222( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ]1 [ ( ) ] 1XD X E X E X EEX        ） 称 X 为 X 的标准化变量。 注意：这里 X 不一定是正态随机变量。 对正态随机变量，结论也成立。 例 2 设随机变量 X 具有（ 01）分布，其分布 律为： P{X=0}=1p,P{X=1}=p，求 D（ X）。 解 :E（ X） =0 (1P） +1 p=p ， E（ X2） =02 (1p)+12 p=p D（ X） =E（ X2） [E（ X） ]2=pp2=p(1p) 例 3 设 X~π (λ )，求 D（ X）。 解 : X的分布律为： ， k=1,2,„，λ 0. 上 节例 6 已算得 E（ X） =λ，而 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(x1)]+E(X)= = 所以方差： D（ X） =E（ X） [E（ X） ]2=λ 由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数λ，因为泊松分布只含一个参数λ，只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。 例 4 设 X~U（ a,b），求 D（ X）。 辽宁石油化工大学 概率论与数理统计教案 解 :X的概率密度为： ()fx 1 ,0,a x bba   其 它 而2)(。