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 说明A、 B之间逻辑关系， Y是 A和 B的异或函数。 一般地，如果对应于输入逻辑变量 A、 B、 C、„的每一组确定值，输入逻辑变量 Y 都有惟一确定的值与之对应，则称 Y 是 A、 B、 C、„的逻辑函数。 记为： ),(  CBAfY 与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是 0 或 1，并且这里的 0 和 1 只表示两种不同的状态，没有数量的含义。 设有两个逻辑函数 ),(1  CBAfY ),(2  CBAgY 它们的变量都是 A、 B、 C、„，如果对应于变量 A、 B、 C、„的任何一组变量取值，Y1 和 Y2 的值都相同，则称 Y1 和 Y2 是相等的，记为 Y1=Y2。 显然，若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。 因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。 例如，已知下列两个函数 输入 输出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 输入 输出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 13 《数字电子技术基础》教案 第一章 ABY1BAY 2 ABY1 BAY 2 列出 Y1 和 Y2的真值表，如表。 由表可知，它们的真值表完全相同，所以 Y1和 Y2 是相等的，即有 BAAB  表 和 的真值表 A B A B BAY 2 A BAAB B ABY1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 逻辑代数的公式、定理和规则 1. 根据逻辑变量的取值只有 0 和 1，以及逻辑变量的与、或、非 3 种运算法则，可推导出逻辑运算的基本公式和定理。 这些公式的证明，最直接的方法是列出等号两边函数的真值表，看看是否完全相同。 也可利用已知的公式来证明其公式。 (1) 常量之间的关系。 因为在二值逻辑中只有 0 和 1 两个常量，逻辑变量的取值不是 0 就是 1，而 最基本的逻辑运算又只有与、或、非 3 种，所以常量之间的关系也只有与、或、非 3 种： 与运算： 111 001 010 000  或运算： 111 101 110 000  非运算： 01 10  (2) 基本公式。 01 律： 互补律： 等幂律： 双重否定律： (3) 基本定理 交换律： 结合律： 分 配律： AA  AA AA 10   00 11AA01AAAA  AAA AAA  ABBA ABBA   )()( )()( CBACBA CBACBA   )()()( CABACBA CABACBA 14 《数字电子技术基础》教案 第一章 证明： 反演律（又称摩根定律）： （ 3） 常用公式 还原律 ： 吸收律： 证明： 冗余律： 证明： 可以利用上述公式和定理来对逻辑表达式进行化简，也可以利用它们来证明两个逻辑表达式是否相等。 例如，可以利用反演律、分配律和互补律来证明等式 BABABABA 是否成立，证明如下： （反演律） （反演律） （分配律） （互补律） 2. 逻辑代数运算的基本规则 逻辑代数有 3个重要规则。 利用这 3 个规则，可以得到更多的公式，也可扩充公式的应用范围。 （ 1）代入规则。 任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数代替，则CBACBCBACBCABAACBCABAAACABA)1()()(ABABAABABA)()(   ABAA ABAA )(BABAABABAA )(CAABBCACABBCAA B CCAABBCAACAABBCCAAB)1()1()(BABABAAABAA  )(1))((CABACBCABA BABABBBABAAABABABABABABA))((CBACBACBACBA 15 《数字电子技术基础》教案 第一章 等式仍然成立。 这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 BAAB  ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，根据代入规则，等式仍然成立，即有： CBABACBAC )( 据此可以证明 n 个变量的摩根定律成立。 （ 2）反演规则。 对于任何一个逻辑表达式 Y，如果将表达式中的所有“”换成“ +”，“ +”换成“”， “ 0”换成“ 1”，“ 1”换成“ 0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得的表达式就是函数 Y的反函数（或称补函数） Y。 这个规则称为反演规则。 利用反演规则可以很容易地求出一个函数的反函数。 需要注意的是，在运用反演规则求一个函数的反函数时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行，先算括号，接着与运算，然后或 运算，最后非运算，否则容易出错。 例如： （ 3）对偶规则 对于任何一个逻辑表达式 Y，如果将表达式中的所有“”换成“ +”，“ +”换成“”，“ 0”换成“ 1”，“ 1”换成“ 0”，而变量保持不变，则可得到一个新的函数表达式 Y＇， Y＇称为函数 Y 的对偶函数，这个规则称为对偶规则。 例如： 由这些例子可以看出，如果 Y 的对偶函数为 Y＇，则 Y＇的对偶函数就是 Y。 也就是 Y和 Y＇互为对偶函数。 在求一个函数的对偶函数时，同样要注意运算的先后顺序。 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。 利用对偶规则，可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。 例如，已知等式ACABCBA  )( 成立，则其对偶等式 也是成立的。 把上述反函数的例子与对偶函数的例子对照一下，可以看出，反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。 因此，若已求得一函数的反函数，只要将所有变量取反便得该函数的对偶函数，反之亦然。 逻辑函数的表达式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非、与非表达式、或非、或非表达式、与或非表达式多种表示形式。 一种形式的函数表达式对应于一种逻辑电路。 尽管一逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。 例如 与或表达式 或与表达式 EDCBAYEDCBAYEDCBAYEDCBAY ))((EDCBAYEDCBAYEDCBAYEDCBAY39。 39。 ))((ACBACABAACBAY))(())(( CABABCA  16 《数字电子技术基础》教案 第一章 与非与非表达式 或非或非表达式 与或非表达式 其中与或 表达式最为常见，同时 与或表达式也比较容易和其他形式的表达式进行相互转换。 函数的与或表达式就是将函数表示为若干个乘积项之和的形式，即若干个与项相或的形式。 1. 逻辑函数的最小项及其性质 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，标准积项通常称为最小项。 根据最小项的定义可知：一个变量 A可组成两个最小项： A、 A；两个变量 A、 B可组成 4 个最小项： AB、 BA 、 BA 、 BA ； 3 个变量 A、 B、 C可组成 8 个最小项：。 一般地， n 个变量可组成 n2 个最小项。 为了叙述和书写方便，通常用符号 m i 来表示最小项。 其中下标 i 是这样确定的：把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。 按照这个原则， 3变量的 8个最小项可以分别表示为： 为了分析最小项的性质，现将 3 个变量 的全部最小项的真值表列于表 中。 表 3 变量全部最小项的真值表 A B C 0m 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 观察表 可以看出，最小项具有下列 3 个主要性质： (1)对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。 (2)任意两个不同的最小项的乘积必为 0。 (3)全部最小项的和必为 1。 2. 逻辑函数的最小项表达式 任一个逻辑函数均可以表示成一组最小项的和，这种表达式称为函数的最小项表达式，也称为函数的标准与或表达式，或称为函数的标准积之和表达式。 任何一个 n 变量的函数都CABA CABA ABCCABCBACBABCACBACBACBA ,,A B CmCABmCBAm CBAmBCAmCBAmCBAmCBAm   765 43210 , ,, 17 《数字电子技术基础》教案 第一章 有一个且仅有一个最小项表达式。 反复使用公式 1AA 和 ACABCBA  )( ，可以求出函数的最小项表达式。 例如：设 BCAY  ，则： 其中“∑”表示或运算，括号中的数字表示最小项的下标值。 如果 列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1 的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。 例如，函数 CBBAY  的真值表如表 所示，由真值表很容易写出函数的最小项表达式为：  )5,3,2,1(5321 mmmmmY 表 函数 CBBAY  的真值表 A B C Y 最小 项 0 0 0 0 0m 0 0 1 1 0 1 0 1 2m 0 1 1 1 3m 1 0 0 0 4m 1 0 1 1 5m 1 1 0 0 6m 1 1 1 0 7m 反函数的最小项表达式 如果将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。 例如，由表 可以写出函数 CBBAY  的 反函数 Y的最小项表达式为：。